极差和标准差:比较随机模型与现实世界
统计模型预测现实世界系统的行为有多好?在许多信号完整性应用中，例如在给定误码率(BER)下估计随机抖动，使用统计分布的给定总体来推断潜在的未来结果。类似地，图1描述了一个模型，用于预测高斯分布的各种总体大小的直方图范围与直方图西格玛(一个标准差)的比率。预测表明，随着人口的增长，距离与西格玛之比的极限增大。
例如，给定100个值的总体大小，则range-to-sigma的预测比率为6.180。然而，对于10,000,000个值的人口规模，该比率增长到11.224。这导致在增加的样本群体中发生统计显著事件的概率增加。随着更多的值被添加到样本总体中，在数据集中捕获异常值或离群值的机会就会提高。
图1:对于给定的种群规模，可以预测直方图范围与直方图分布之比的极限。人口越多，峰与峰之间的距离-西格玛比就越大。
为了启发式地研究统计模型预测的准确性，我们使用函数生成器和示波器使用3 MHz正弦波收集不同总体大小的测量参数结果。示波器捕获了多次正弦波的采集，并测量了1000个波形周期内的循环频率(见图2)。示波器还计算了直方图的标准差(参数P2)和范围(参数P5)。
注意，测量频率与sigma的比值接近0.1%。本实验中使用的示波器的样本时钟抖动规格为280飞秒rms，相对于正弦频率变化可以忽略不计。虽然抖动噪声的一小部分源于示波器产生的测量误差，但正弦波的测量峰对峰到西格玛频率的大部分随机变化是由于相对较低精度函数发生器的质量。
图2:收集了1000个频率测量值的直方图。参数P1计算信号频率。P2和P5计算直方图分布的标准差和极差。
收集了一个更大的5,000,000个值，如图3所示。在这个统计意义更显著的直方图中出现了随机频率波动的高斯形状。由于每个数据集合的结果不同，因此将执行一系列三次测试运行，并针对每个总体大小将其制成表格。
图3:收集了一个统计上显著的直方图，包括更大的5,000,000个循环频率测量，结果证实了更大的范围-西格玛比。
图4采用半对数图对实验结果与模型进行比较。图4中的蓝线表示最初在图1中给出的预测模型值。三次测试运行的实验结果用图表中橙色、黄色和紫色的圆圈表示。
图4:图1中的预测模型(蓝线)以及实验结果(橙色、黄色和紫色圆圈)。实验结果证实，该模型是一个准确的预测范围到西格玛值的极限为不同的人口规模。
该模型预测，range-to-sigma比值极限会随着人口的增加而扩大——例如，当人口从1000人增加到100万人时，该比值从7.438增加到10.399。在实验室中，使用从示波器收集的数据也证实了这一点，为该模型确实是实际测量结果的良好预测器提供了支持。这对于许多信号完整性测量应用非常重要，这些应用依赖于数据子集的外推来预测系统行为。例如，可能有十亿分之一的机会，一个边缘会太早或太晚到达，导致闭锁系统的电子故障。通过参考sigma与峰对峰的关系模型，信号完整性工程师可以预测最坏情况系统行为的可能性和严重程度。
