如何避免测量中的吉布斯振铃伪影

在大多数仪器中进行测量很容易，但有时很难知道哪些是真实的，哪些是人造的。吉布斯响是高速瞄准镜和TDR测量中常见的伪影，除非你知道如何避免它，否则它会使你误入歧途。我们揭露了避开这个重要藏物的秘密。

吉布斯响

理想的方波具有谐波振幅的频谱，其振幅随频率的1/ 1而衰减。对于一个上升时间为0 psec的理想方波，带宽是无限的，我们需要频谱中的每一个谐波分量来重建0 psec的上升时间。

当我们在时域中通过添加连续的正弦波来合成方波时，我们看到随着每个谐波的添加，方波的近似值越来越好。当我们加入谐波时，波形的上升时间变短，波形的带宽增加。波形的顶部和底部开始看起来越来越平。然而，在边缘有一个我们无法避免的响影。图1中显示了一个截断的正弦波系列，其中包括高达7次谐波的例子。

图1由理想方波的前7次谐波组成的波形。

这种振铃行为在任何波形中都可以观察到，这是正弦波频率分量的截断系列之和的结果。1848年，亨利·威尔伯拉罕在用铅笔和纸计算从正弦波合成理想的方波时，首次记录了这种行为。1898年，J·威拉德·吉布斯(J Willard Gibbs)用类似于威尔伯拉罕的观察结果的截断傅立叶展开报告了振铃现象。由于历史原因，这种超调和振铃行为被归结为吉布斯，是截断傅立叶级数的基本性质。它有时被称为吉布斯效应、吉布斯现象、吉布斯振铃或吉布斯耳。

当理想方波的无穷序列正弦波被截断并变换回时域时，将观察到吉布斯振铃。

滤波器阶跃响应中的吉布斯振铃

许多仪器，如高速示波器甚至网络分析仪，都可以近似为具有极点频率和滤波器阶数的高阶滤波器。吉布斯振铃会出现在二阶或更高阶滤波器的阶跃响应中。毕竟，在阶跃响应中，输入信号是由无穷多个正弦波组成的方波。滤波器将截断无穷级数的正弦波。任何充分截断的正弦波序列都会显示吉布斯振铃。

一般来说，滤波器由它的传递函数H(f)定义。这个传递函数描述了输出的正弦波和输入的正弦波的复比。图2显示了一个2极或二阶最大平坦低通滤波器的模拟传递函数的示例。图2显示了所有三个重要的数值。

图2。极点频率为1ghz，通带电平为0db的最平坦二阶滤波器的传递函数。橙色外推斜率的递减幅度在极频处达到通带幅度。

在低通滤波器中，传递函数在低频时是恒定的，大小为H0。这是通带区域。

滤波器的阶数是传递函数的形状和无功元件的数量的度量，例如电路描述中的L或C元件。它还描述了传递函数在通带区域以上随频率下降的急剧程度。一阶滤波器的衰减速率为-20 dB/ 10倍频，或-6 dB/倍频。二阶滤波器将以-40 dB/ 10年的速率下降。一个n阶滤波器将以([-20 × n] dB/ 10年)的速率下降。高阶滤波器看起来越来越像砖墙滤波器。

滤波器的阶跃响应是输入信号为理想方波时的输出信号。不同阶滤波器的阶跃响应，从1阶到8阶，如图3所示。在这个例子中，极点频率都是1ghz。

图3具有相同极点频率的1 ~ 8阶滤波器的阶跃响应。随着滤波器阶数的增加，延迟的增加是由于每个滤波器的群延迟变长。

一阶滤波器，RC电路的响应，不显示任何吉布斯振铃。它的输出指数衰减到100%的值。这表明-20 dB/ 10年的滚降不足以引起吉布斯振铃。然而，二阶和更高阶的滤波器响应，确实显示了吉布振铃。阶数越高，振铃振幅越明显。毕竟，阶数越高，过滤器就越像砖墙。

每个滤波器的10-90次上升时间为本征上升时间响应。尽管在本例中每个滤波器都具有相同的1 GHz极频率，但本征上升时间并不相同。10-90的上升时间与极频呈负相关。任何滤波器的一个重要指标是其固有的10-90上升时间与极点频率RTBW的乘积。该产品仅取决于过滤器的顺序。图4a显示了这种关系的数值模拟，直到26阶滤波器。

图4a数值实验显示了不同理想滤波器阶跃响应提取的10-90上升时带宽积。每个滤波器的极点频率是相同的。10-90和20-80上升时段的上升时间-带宽乘积不同，但趋势相似。

当一个仪器表现得像一个高阶滤波器时，它的阶跃响应将显示一个有限的上升时间，基于它的极点频率和滤波器阶数，以及吉布斯振铃。

吉布斯振铃和仪器测量

所有现代高带宽示波器都在其前端使用广泛的DSP滤波。DSP算法中的滤波器顺序通常是4阶，但会根据作用域设置而变化，通常以对用户隐藏的方式变化。这意味着它们的上升时间-带宽乘积在0.39到0.45之间，这取决于设置，当被带宽与其极频率相当的信号激发时，它们将显示吉布斯振铃。

例如，从Leo Bodnar Electronics以60美元购买的低成本脉冲发生器中获得的50秒上升时间信号被用作信号源。该源的带宽约为0.35/0.05 nsec = 7 GHz。用8 GHz和4 GHz带宽示波器进行测量。两个瞄准镜的本征上升时间分别约为0.39/8 GHz = 49 psec和0.39/4 GHz = 98 psec。这些测量结果被带入Keysight的ADS，并使用理想的50 psec 10-90上升时间、误差函数、阶跃边缘刺激，与极频率为8 GHz和4 GHz的理想4阶最大平坦滤波器的响应进行比较。除了时间移来对齐边缘之外，没有其他拟合方法。图4b显示了这些测量结果和模拟的理想滤波器响应。

图4b红圈:两个不同的Teledyne Lecroy示波器在4 GHz和8 GHz带宽下测量到的50秒10-90上升时间信号。蓝色迹线是50 psec信号通过4阶滤波器的模拟响应，极点频率为4 GHz和8 GHz。

这种超调和振声很容易被误解为信号的真实特征，例如反射特征，而实际上，它是前端内部4阶滤波器的响应加上DSP和输入信号的高带宽的产物。DSP滤波器人为截断正弦波的输入序列，导致吉布斯振铃。

这与将宽带s参数测量转换为时域时发生的效果相同。s参数实际上是正弦波的截断序列，在s参数的最高测量频率处截断。当这个带限的正弦波变换到时域时，吉布斯振铃是明显的。

将频域的带限s参数转换为时域的典型算法是通过将s参数表示的每个正弦波分量相加来计算特定s参数的脉冲响应。截断的无穷级数导致脉冲响应中的吉布斯振铃。然后将脉冲响应与合成的输入阶跃信号进行卷积，得到互连在时域内对阶跃边缘的响应。

脉冲响应与输入波形在时域的卷积相当于输入信号的频率分量与频域s参数的乘积。当输入上升时间足够短，其带宽与s参数中的最高频率相当时，信号的正弦波序列将被带限s参数截断，并在时域上显示吉布斯振铃。

作为一个例子，图5显示了通过极低损耗互连传输信号的时域响应，根据频域测量计算，测量到的频率分量高达40ghz。阶跃边缘上升时间为9 psec，带宽为39 GHz。这使得s参数成为一个截断的序列。吉布斯铃声很明显。

图5在重建的时域响应中，使用过短的上升时间，在40 GHz频段限制s参数下的短通互连的测量TDR和TDT。吉布斯效应使对反应的解释变得困难。

当从频域s参数创建的互连的TDR测量中使用过短的上升时间时，吉布斯振铃伪影可以使均匀互连看起来像具有不连续的互连。这是真的还是藏物?如何减少或消除这个工件?

减少吉布斯振铃

一阶滤波器不显示吉布斯振铃的原因是正弦波振幅的-20 dB/ 10年下降是逐渐截断的。滤波器的阶数越高，吉布斯振铃的振幅越高，因为截断更接近于砖墙。

这表明，如果无限序列的正弦波可以在和使用的频率范围内逐渐截断，而不是像砖墙一样截断，则可以减少吉布斯振铃。这意味着使用带宽开销来逐渐减少正弦波频率分量的截断。

该原理如图6所示，其中增加的上升时间步长边缘信号，随着带宽的减少，被用作4阶和8阶滤波器的输入。输入上升时间归一化为滤波器的固有上升时间，用作输入上升时间的度量。当输入上升时间为滤波器本征上升时间的2倍时，与输入上升时间仅为本征上升时间的2%时相比，滤波器输出中几乎没有吉布斯振铃。

图6 4阶和8阶滤波器在三种不同输入上升时间下的输出Gibbs振铃示例，与系统固有上升时间为0.02x、1x和2x相比。超调值取决于滤波器阶数和与滤波器固有响应相比的输入上升时间。

与滤波器的固有上升时间相比，刺激的上升时间越长，输出中吉布斯振铃的影响就越小。通过一个简单的数值实验，我们可以回答输入上升时间应该比本征上升时间长多少的问题，以消除吉布斯振铃伪影。

图7显示了基于数值模拟的输入上升时间增加时滤波器响应中的吉布斯振铃超调量。消除吉布斯振铃的归一化上升时间略微取决于滤波器的阶数。对于四阶滤波器，上升时间应至少为滤波器固有上升时间的2.5倍。

图7不同极点滤波器的超调量和归一化输入上升时间。

我们可以使用这个关系来探索在给定带宽的仪器中不引入吉布斯振铃伪影的最短推荐信号上升时间之间的约束。

对于四阶滤波器，条件为:

这是一个强大且容易记住的经验法则。它说，为了避免吉布斯振铃伪影，使用高于信号1/RT的仪器带宽。这是相当大的带宽开销。

例如，如果我们有一个上升时间为1 nsec的信号，则信号的带宽为0.35/1 nsec = 350 MHz。在示波器测量中，为了避免吉布斯振铃，示波器的带宽应至少为1/1 nsec = 1 GHz。这是信号带宽的3倍。这是一个更可靠的经验法则，而不是使用至少2倍于信号带宽的示波器带宽。这个常见的建议只是基于测量输入上升时间到实际上升时间的10%以内。它不考虑吉布斯铃声藏物。

当将带限s参数从频域转换到时域时，模拟的最短上升时间应至少为s参数的1/BW，以避免吉布斯振铃伪影。

通常的建议是，从带限s参数中可以看到的最短上升时间为s参数的0.35/BW。这将在时域中再现最短上升时间信号，但它将显示吉布斯振铃并使时域响应难以解释。将上升时间减少到1/BW将消除这种伪影，任何残留的振铃可能是真实的。

为了说明这一点，使用Teledyne LeCroy WavePulser 40iX测量了一条非常低损耗的50欧姆传输线，最高可达20 GHz。在时域上计算了通过该互连传输的信号的上升时间分别为17psec、35psec和50psec。经过这三个上升时间变换后的时域传输信号如图8所示。

图8采用相同20ghz限带s参数、不同上升时间的时域模拟信号。

当时域响应的上升时间为0.35/BW时，吉布斯振铃明显。当上升时间为1/BW时，该伪影完全消除。

总结

吉布振铃是当理想方波频谱中的无穷级数正弦波分量被截断或限制频带时引入的一种伪影。它在任何电压转换时都会出现振铃现象。在范围测量中，它看起来像一个反射噪声源。在转换到时域的s参数测量中，它看起来像不连续的反射。事实上，它是测量过程的产物。

消除这种伪影的一种方法是牺牲测量带宽来提高信号质量。作为一个可靠的经验法则，为了避免吉布斯响伪影，确保您的测量带宽至少与信号的1/RT一样高。如果变换带限s参数，模拟域响应时的上升时间应大于s参数的1/BW。

如果你超出了这条经验法则所建议的限制，你绝对会引入吉布斯铃声。当你解释你的测量结果时要小心。振铃可能与反射源无关。

进一步阅读:

• Banas,大卫。插入损耗的脉冲响应，信号完整性学报，2020年8月。
• Bogatin,埃里克。回到基础:带宽和上升时间，信号完整性学报，2018年5月。
• 博格汀·埃里克，劳伦斯·雅各布斯和马特·迪斯纳。快速，简单的方法来测量系统带宽的范围探头系统，信号完整性学报，2019年1月