利用PCE对高速链路进行有效的灵敏度感知评估及其对COM的影响

数据速率的增加和边际的减少对高速链路设计提出了挑战，使其超越了分段建模和联合仿真技术的限制。物理传输层包括许多无源和有源组件。它们各自的相互依赖关系和权衡并不总是直接确定的。虽然通道可能通过测试，但剩余余量及其对生产中几何形状或材料变化的弹性可能无法观察到。然而，这些变化是至关重要的，因为它们可能会阻碍性能或导致大批量生产(HVM)产品失败。

我们首次开发并演示了一个多项式混沌展开(PCE)流程来分析一个全功能的100GBASE-KR4链路，从几何规格到接收器的信道工作裕度(COM)裕度。

框架是非侵入式构建的(参见图1)。它建立在常规工具之上，无需修改，并将自身集成到已建立方法的设计流程中。PCE方法受到积极的研究，并已成功地应用于研究高速链路设计的各个方面[1,2,3]。然而，据作者所知，该方法尚未用于实际链接设计的设置。例如，最近使用PCE和DoE/响应面法(RSM)方法研究了两个差分过孔对之间串扰的可变性。[4]对这两种方法进行了比较。虽然其中承认这些方法之间的一般相似性，但没有讨论确定最具影响力的参数。

图1:受工艺、电压、温度(PVT)和大批量制造(HVM)变化影响的高速数字链路统计分析拟议框架的背景和概述。规范的预处理扩展了分析，并允许对结果进行高级解释(橙色箭头表示的数据流)。多项式混沌展开(PCE)流与DoE和MCS等已有方法有相似之处。现有的链路分析解决方案可以在参数信道试验台的标签下进行整合和总结。

PCE方法原则上是一种基于方差的敏感性分析，允许从一组给定的设计或工艺变化中直接识别最具影响力的参数。我们统计分析链接COM边缘和评估其敏感性和可变性关于几何和材料的变化。我们的流程建立在经过验证的开源库ChaosPy[5]上，该库实现了PCE。此外，我们通过ST[6]扩展了ChaosPy，通过先验选择样本来提高计算效率。我们包含了相关的Python代码片段，并为任何想要实现提议的PCE流的人提供了指导。此外，我们将所提出的流程与传统的MCS和基于DoE的方法进行了比较和验证。

最后，该框架对要分析的数据没有任何约束。它允许对参考模型和遵从性度量(如COM[7,8])进行彻底的评估和教育调查。这些问题有待讨论，因为它们在多大程度上反映了链路退化的基本原因和影响[9,10]。随着数据速率的不断提高，设计余量不断减少，对信道性能的全面理解和预测至关重要。这项工作通过对典型设计参数(如拓扑、I/O~电路和串扰噪声)影响的灵敏度感知评估来解决这一需求。

链路评价与参数变异性评估的研究现状

所有高速链路基本上由发射机(Tx)、信道(Ch)和接收机(RX)组成。高速链路成功通信的能力由误码率(BER)来定义。用正确的Tx、Ch和RX模型验证误码率并不简单，而且很耗时。因此，引入遵从性度量作为一种间接的方法来估计BER，而不需要太多的复杂性。大多数情况下，分别指定Tx、Ch和RX的遵从性指标，以便总链路在连接时达到所需的误码率。历史上，特定物理位置的眼高和眼宽(或眼罩)是符合性验证的绝对度量。

对于单独的互连，遵从性可以根据频域度量来指定。其中，关键指标包括插入损耗(IL)、插入偏差(ILD)和插入损耗串扰比(ICR)。大多数标准将这些遵从性度量指定为信息指导值，而不是严格执行的数字。最近，IEEE 802.3bj[11，附录93A]。1]引入COM作为通道验证的单一遵从性度量。它的单位是dB，定义为

在哪里表示均衡信号幅度，和总结噪音来源，例如发射机噪音(TX)、剩余符号间干扰(三军情报局)、时序抖动(J)、相声(XT)，以及接收机均衡器噪声(N）.它被其他标准化委员会所接受，如OIF-CEI、光纤通道和JEDEC。COM计算算法在数学上是统计分析的一个子集，使用来自受害者和攻击者通道s参数的单比特脉冲响应。开云体育官网登录平台网址与全统计模拟器相比

COM是建立在简化算法和提高其性能所需的几个假设之上的。例如，该算法将固定前馈均衡器(FFE)架构约束为两个或三个可变分接系数，将连续时间线性均衡器(CTLE)实现约束为两个或三个极点和一个或两个零。

受这些简化影响的一些领域是输入抖动和串扰贡献的计算[9]。此外，COM只考虑两个包的变化，一个短和一个长传输线模型。我们在接下来的研究中考虑了这两种情况并对其进行了标记COM短和COM长,分别。

随着数据速率的增加，高速链路的余量显著减少。因此，在大批量生产(HVM)的情况下，在一个设计点验证通道或链路遵从性本身就存在风险。评估HVM质量的一个关键指标是在生产的100万台设备中出现故障的数量。这可以等效地表示为在所采样的一百万个链接中不符合要求的链接的数量。让我们将HVM质量度量定义为FPM——每百万次失败。为了评估FPM，由于制造公差引起的部件参数变化应包括在连杆仿真中。如果连杆不满足某个FPM目标，那么对影响遵从性度量的最具影响力的变量进行排序并控制其制造公差是很重要的。稍后将给出如何推导这个量的例子。

高速链路设计中的高效不确定性量化

参数变化通常通过三个值来捕获:最小值、标称值和最大值。对于有N个变量的链接，所需的模拟总数为3^N．因此，如果我们要模拟所有可能的组合，模拟的次数会随着参数的数量呈指数增长。减少计算负担的谨慎方法是使用统计方法。蒙特卡罗采样(MCS)和结合RSM的实验设计(DoE)是工业中常用的两种方法[12,13]。

MCS是量化变化及其对数字链路性能影响的经典方法。它对感兴趣的数量不施加任何约束或假设，并从所有可能的参数组合中随机选择样本。然而，MCS通常需要大量的样本来确保收敛，这使得该技术在计算上非常昂贵。响应面法(RSM)利用设计好的实验来减少样本数量，在分析参数变异性方面更有效。基于多项式回归，参数模型旨在捕获感兴趣的数量及其与受变化影响的输入参数的依赖关系。统计量由传统MCS的多项式拟合得到，计算成本较低。

请注意，生产或设计中的不确定性分布通常是已知的。例如，高斯和均匀分布变量涵盖了HVM变化和设计空间探索的常见情况。在本文中，我们提出了一个基于PCE的仿真流，它明确地利用这些信息来提高分析的效率。它本质上非常适合于HVM质量评估和控制。值得注意的是，在各种用例中，它比传统的MCS和RSM方法计算效率更高。

多项式混沌展开研究综述

与RSM类似，PCE旨在通过多项式模型来捕获参数可变性，从中得出感兴趣的统计量。此外，这两种方法都使用了特定的抽样方案来构建模型。然而，PCE是一种光谱方法，这是一个显著的区别。与傅立叶变换涉及时域和频域类似，PCE将手头的确定性问题转换为随机域[14]。

在链路设计中，感兴趣的典型数量包括性能指标，如COM和eye opening。输出数量随输入参数(如几何形状和材料值)的随机变化而变化。下面，考虑一个随机变量这是任意函数的输出它依赖于一个输入随机变量．(在下面的文本中，函数输出变量可以互换使用。在给定的上下文中，它应该是明确的，在这两种情况下哪个是指的。)PCE将该输出变量扩展为截断序列[15，第5.1章]。

在哪里P是近似的阶数，表示服从的归一化基多项式,为各自的PCE系数。给定近似度的充分性P取决于函数的平滑度．一般来说，对于非谐振或弱谐振问题，级数收敛速度更快，对应于较低的P．增加P为了更好的准确性，其含义和限制将在后面讨论。基多项式与内积正交[15，第5.1章]

在哪里是常态，是克罗内克三角洲是各自的概率密度函数。给定一个分布，则多项式基的选择集。对于最常见的情况，它们要么是高斯分布的厄米特多项式，均匀分布情况下的勒让德多项式．这个发现是基本的:相同分布的不同随机变量的不同之处在于它们各自的PCE系数，这是多项式模型的特征。因此，PCE系数携带所有相关的随机信息。

当处理多个变量时，(2)的表达式适用于产量[15，第5.2章]。

与作为的向量N随机独立的输入随机变量。再一次。表示基多项式，PCE系数由．注意，基多项式比前面讨论的单变量情况更一般。多元或联合基多项式是由单个单变量函数基的乘法得到的。最终得到的多项式模型的系数数等于(D+ 1)并确定所需的顺序D．所要求的订单是由．

可以根据上述PCE公式推导出各种度量标准。的平均值等于第0个PCE系数，即[15，第~5.3章]

方差由[15，第5.3章]给出。

其中多元规范的定义类似于(3)。值是预先计算或通过查找表获得的。除了这些已确定的量之外，还可以导出条件方差(Sobol指数)来分析一个或多个参数的输入可变性对总体输出可变性的相对影响。这个结果在PCE中没有额外的成本，因为它可以直接从PCE系数中读取。对应的Sobol索引输入随机变量[16,17]

这里是索引k在分子中对应于有关的贡献．需要注意的是，这是PCE所独有的初级量，从传统的DoE/RSM模型中得出该量需要付出很大的努力，而且精度也受到RSM模型的限制。由于其配方，PCE没有这些限制。此外，相对于输入的灵敏度可以通过样品的偏导数得到类似于[18]

最后但并非最不重要的是PDFp(y)可以用与DoE/RSM相同的方法使用PCE模型的MCS获得。这是便宜的，因为它只涉及到一个多项式函数的计算。

基于PCE的总体轮廓，随后讨论了两个基本方面:获得PCE系数和使用尽可能少的样本。用一个例子说明了这个过程。

多项式混沌展开系数的获取

获得PCE系数的一种方法是通过光谱投影到正交基上:

在这里,是联合概率密度函数。多元情况下的多维积分可以在式(4)的基础上用高斯正交法数值求解

(P+ 1)^N为单变量情况下由正交节点的全张量积得到的正交节点总数，且作为对应的k正交权值。由(11)可以看出，高斯正交节点的个数也就是函数调用的总次数呈指数增长N．如果单个功能评估，例如测量或模拟，在计算上是昂贵的，这是特别有害的。或者，点匹配等于在单个采样点计算的函数到在同一节点评估的PCE模型:

所有采样点的匹配可以写成矩阵形式

哪个是过度确定的问题(D + 1)和线性回归可用于求解中的系数．下一节将介绍st。该方法选择(D+ 1)先验的大多数相关样本，以进一步减少对昂贵的函数评估的需要。

提高随机测试的计算效率

ST方法[6]采用上述策略获取多项式混沌系数。它选择(D+ 1)样品产生最大可能的准确性，以构建PCE基础的订单P．也就是说，它随机选择最重要的节点。

首先，一组(P+ 1)^N候选节点以及它们的相关权重使用(11)至(13)所述的高斯正交规则建立。下一步，权重按值排序。从权值最大开始，依次将相应节点插入基函数向量中，

如果下一个候选节点产生一个新向量它与之前被接受的向量是充分正交的，因此，增加了矩阵的维数，这是可以接受的。否则将丢弃候选节点。如果从候选节点集合中有D+ 1个合适节点找到了，我们可以再写一次

这个矩阵有完整的等级，最好是良好的条件。有了这个，一个人就可以写作了

，得到PCE系数。清单2显式地实现了这个算法，以演示开源库的扩展ChaosPy在拟议框架中使用。候选节点的正交性由参数控制这个值应该尽可能的大，以保证矩阵的规则．另一方面，较大的值可能会阻碍算法收敛。

为了将PCE得到的多项式模型与传统的DoE/RSM方法的结果进行比较，选择近似阶数为P= 2。这对应于二次RSM模型的经典选择。万一…N= 2个独立的均匀分布变量和，高斯正交得到(2 + 1)²= 9个节点，如表1所示。

然而，问题是过度确定的。的等级等于多项式模型中系数的个数。在这个例子中，它由_．因此，需要消除三个节点。在几分之一秒内，ST算法根据它们的高斯正交权值以及它们与已选节点的正交性选择表1中所示的行。请注意对于所有的样本。这揭示了多项式基是如何是标准化的．

图2说明了如何对二维域进行采样，以及接受了哪些节点。图3说明了ST如何减少所需样本的数量作为变量的数量N和近似的阶数P有所不同。

变量分析和归一化的计算代价

两个因素可能主导了所提出的参数可变性分析的计算成本:样本链路的确定性分析和PCE和st引入的开销。该框架是非侵入性的，不会改变或加速链路本身的分析。然而，它旨在降低随机分析中所需样本的总数。

基于ST的PCE随机模型的计算主要是ST节点的选择和确定性样本的投影PCE系数(16)。注意，节点的计算和选择可以与实际样本解耦。

将分布映射到规范化区间，例如，在不丧失一般性的情况下，有两个主要的好处:首先是矩阵一个与问题无关。它可以被预先计算和制表。

表1:高斯正交(GQ)节点及其对应的权值和行数．最后一列的标志表示该节点是否被ST选中。

建议的建模框架

所提出的建模框架将确定性分析方法(如s参数提取、统计时域仿真和COM分析)集成到非侵入式PCE框架中，如图4所示。这允许集成到任何现有的工作流程中。

该框架的两个主要部分将在以下小节中进行详细讨论。首先是开源库ChaosPy，实现了PCE，通过前面介绍的采样技术进行了扩展随机检验(ST)．第二部分是一个抽象的、敏感的链接模型。该模型作为确定性模拟和PCE之间的接口。第4节演示了使用通用100GBASE-KR4链路的框架，而不会丢失通用性。

随机检验的实现

考虑到高度模块化的Python库ChaosPy，很容易编写包装器函数，以便将PCE与ST结合使用压缩为四个不同的函数调用，如清单1所示。

清单1:根据清单2使用带有ST扩展的ChaosPy库获取PCE系数。

第1行获取最终的ST节点．为此，该函数需要两个输入，即近似阶数P还有一个输入随机变量的向量．该函数是一个封装函数，调用核心ST算法，如[6]中首次表述的那样。清单2给出了Python脚本语言中的相应实现。

图4:高速数字链路灵敏度感知分析的非侵入式框架包括确定性和随机(PCE)域。前者可以通过对给定链路规范的任何常规分析来表示。利用PCE对样品进行预处理和后处理，得到随机量。蓝色卷轴突出显示了域之间的信息交换。本研究使用基本的字符间距值表来实现交换。眼图可以直接从提取的s参数以及等价的COM导出[9]。

如果使用规范化变量，则此函数调用独立于实际问题，并且可以预先计算和制表。获取ST节点就变成了加载一个秩()的矩阵。D+ 1)从一个文件。第二行表示调用确定性求解器的包装器函数。实际上，这意味着导入一个结果向量，表示为(16)。最后，第3行和第4行推导了PCE系数和多项式模型。第3行对应于方程(16)。求解线性方程组可以用lu分解来实现，也可以预先计算。

敏感链路模型

前面描述的PCE算法是非侵入式构建的，只需要知道一个输入值表及其相应的输出。表充当随机域和确定性域之间的接口，如图4所示。它将拓扑、几何和操作规范映射到输出量，如COM。

在填表时，可根据精度需要和可用性选择常规测量、仿真工具和建模方法。它们不需要任何修改。为了展示该框架的多功能性，本研究使用了作者可用的多种工具。

使用分段2.5D建模提取互连的s参数[19,20]。COM值和眼图使用商业工具以及公开可用的参考实现进行计算和验证。

清单2:基于ChaosPy库的PCE的ST的Python实现[6]。

高速互连的灵敏度分析

输入的不确定性可能是由于可用的设计选择以及生产中意外的参数变化。这两个方面都很有趣，尽管它们处于制造过程的不同阶段。此外，哪些参数最具影响力可能并不总是显而易见的。

在本节中，我们将通过设计空间探索来演示所建议的框架的功能。也就是说，选择不确定度(pdf)来表示均匀分布。

另一种流行的选择是对应于PVT和HVM不确定性的正态分布。通过与RSM和MCS的比较，验证了该框架的有效性和准确性。为了便于两种方法之间的比较，从PCE和RSM中得到二阶多项式。

图5a和5b说明了整个链接模型以及考虑的自由度。表2总结了有关的详细信息N= 9个自变量，分别包括各参数的标称值和变化范围。总布线长度约为21英寸。堆叠和引脚分配如图6所示。

请注意，在两个电路板中，介电材料特性以及差分阻抗是随机独立的变量。刀片1使用标称材料属性和路由阻抗。连接器的型号相同。

图5:在高速数据链路的可变性和敏感性分析中，需要平衡多个视点，如图所示。(a)典型背板链路拓扑图。(b)调查参数敏感性所考虑的值和自由度。(c)考虑的方法和抽样方案的不同阶段所需的样本数量随机测试(ST)和Box-Behnken (BB)。每个部分分析都需要蒙特卡罗样本的全部数目。根据所需的精度和感兴趣的数量，这个数字可能会有很大的变化。

表2:在示例设计空间探索中考虑的参数及其各自的范围。标称值表示各参数范围的中心值。

以往的研究表明，带状线宽度和介电常数主要影响提取的s参数[3]。[21]中使用了相同的设计变量，但没有额外解释。假设作者同样关注最相关的参数。本研究从设计者的角度考虑了这两个参数，即通过差分路由阻抗来考虑带状线的宽度。

表2中概述的设计空间分别通过图7和图8中所考虑的50 MHz至40 GHz频率范围内的差分传输和反射来说明。后者表示PCE均值和90%置信区间。二阶PCE模型(P= 2)与MCS有良好到非常好的相关性。在33 GHz附近观测到偏差。这些指向超线性参数依赖关系，可能需要更高阶的PCE模型和更多靠近该频率的蒙特卡罗样本。

考虑到只使用了1000个蒙特卡罗样本，这是一个非常好的整体相关性。此外，下面的研究重点是100GBASE-KR4，其奈奎斯特频率为12.9 GHz远低于33 GHz。

这一结果似乎与[3]的研究相似。事实上，他们证实了先前报道的结果。但是请注意，我们选择了一种更通用的方法来使用这个框架。[3]中给出的增广网络参数得出的s参数是最终且唯一的结果。其中提出的算法不允许进一步处理，例如COM分析。图4说明了建议的更通用的方法，以及如何使用相同的框架推导出不同的数量。通常，在派生的随机量之间不存在平凡的映射，例如．

不确定度定量方法的关联与验证

在探索PCE建模的功能之前，本节将研究与传统建模和采样方案相比，PCE的准确性和计算成本。方法的偏好和可行性最终取决于感兴趣的随机和统计量以及准确性要求。因此，特别关注这些方面。

最小化实现工作量和计算成本被认为是第二个约束。与依赖于鲁棒回归算法的传统DoE/RSM相比，PCE框架的实现工作量更大。基于可用的PCE实用算法的开源实现，我们的框架消除了这种差异。从此以后，PCE带ST或不带ST都可以像传统的DoE/RSM一样轻松使用。

图6:图5(a)中概述的链路包括两个叶片，两个连接器和一个背板。叶片的堆叠(a)有14层，其中4层用于信号路由。背板(b)的堆叠有38层，其中包括14个信号层。厚度单位为毫米。Tx/Rx SerDes和连接器附近的过孔引脚场分别在子图(c)和(d)中给出。受害者的不同引脚用蓝色表示，两个ext攻击者用红色表示。

图7:具有N = 9个输入变量的通道的10个蒙特卡罗实现的代表性选择。(a)差分透射(IL)， (b)差分反射(RL)大多在各自的信息限制内。

图8:N = 9个输入变量时高速互连差分传输和反射的平均值(黑色)和90%置信区间(红/蓝)。用1000个蒙特卡罗样本验证了结果的有效性。损失大多在各自的信息限制内。图例分别适用于两种情节。

我们建议如图9所示的建模流程。抽样方案和代理模型以模块化的方式实现。注意，获取样本决定了典型问题可变性分析的总体计算成本。求解PCE的线性方程组并对RSM进行多项式回归拟合几乎不需要任何成本。从ST样本开始，可以构建两个代理模型，以产生对黑盒系统的随机和统计洞察力，如图9所示。此外，这些模型可以相互验证。

如果需要，可以向RSM中添加更多的样本，以提高每次采样的精度。然而，请注意，只有PCE提供随机量作为主要输出。在下文中，我们使用不同的抽样方案组合以及RSM来验证PCE模型。

用FPM测量的产率是HVM生产中的一个主要问题。它可以从表3中列出的所有三种方法中获得，并且只需要对样本进行分组，就可以导出底层PDF和累积分布函数(CDF)。MCS需要大量的样本才能达到良好的精度。尽管链接样本的总数被限制为= 1000时，模型的评估需要9天以上。

数学方法从减少的样本数量中产生替代模型，例如多项式。在第二步中，通过将MCS应用于代理模型，只需几秒钟就可以获得与前面相同的信息。在本研究中，PCE/ST和Box-Behnken (BB)采样的RSM [22] (RSM/BB)都比MCS快两个数量级。此外，这两种采样方案都基于结构化网格。

图9:结合PCE和RSM几乎没有成本，并且增加了建模的确定性。从ST得到的样品被送入PCE和RSM。前者揭示了重要的随机信息，如相对影响和敏感性，而不需要额外的成本。使用DoE或MCS的样本可以迭代地提高RSM的单样本精度。另外，为了验证目的，一些数量可以直接从MCS获得。

表3:在50 MHz ~ 40 GHz范围内，9个随机自变量的3996个频率样本的分析计算次数。仿真是在一个拥有32gbyte和10个Intel(R) Core(TM) i7-4930K cpu的3.40 GHz并行工作站上进行的。总的运行时由与元件的最小单频域(FD)仿真;用于串联，和每个统计时域(TD)模拟。

在经典的分段链路分析中，可以利用这一点来减少模拟次数。图5c给出了每个组件的模拟次数。这种好处取决于每个子组件随机独立变量的数量。尽管如此，完整的数字为了进行时域分析，必须进行仿真。请注意，对于给定的近似顺序，PCE/ST需要的样本比RSM/BB少两到三倍P= 2。对于非分段链路仿真，该比率将等于．

下面，通过四种统计方法来比较所构造的多项式再现IL和COM的能力:

• 的实际vs .预测图10中的对比显示了模型的每样本精度。表4总结了前两行的这些图的均方根偏差。两种模型在IL值上的一致性都很好，在COM值上的一致性也很好。ST的主要焦点是使用尽可能少的样本来获得最佳的随机近似。这解释了为什么当使用ST时，与训练集的偏差等于零，因为55个样本匹配55个自由度。
• 的概率密度函数(PDF)是通过对蒙特卡罗样本进行分形得到的。这方面的计算工作量取决于每个函数评估的时间，即模拟。通常，需要几千个样本才能得到很好的收敛性。图11a中IL模型的相关性非常一致。图11d中COM的PDF的公平一致被认为是由于COM实现中的非线性。对于本次总体设计空间研究的目的来说，这是一个非常好的共识。
• 的累积分布函数(CDF)可以从PDF中通过积分得到。CDF的值指定样本位于区间内的概率．因此，与生产相关的数字，如“%的产量有COM<3”可以直接从这条曲线上读出。下一节中的应用程序演示了这一点。在图11b和11e中分别观察到IL和COM的PCE、RSM和MCS的一致性非常好。
• 置信区间(或百分位数)指定保证所有可能样本的给定百分比的范围。产品的合规性可能决定可接受COM值的下限。另一方面，可以考虑上界以避免过度工程。图11c和11f中置信区间的一致性非常好，PCE在预测COM值时略显悲观。

表4:均方根偏差对所选指标采用N = 9个自变量的不确定度量化方法。偏差是通过与1000个蒙特卡罗样本的比较得到的。

图10:预测IL和COM值与实际100个蒙特卡罗样本的对比，分别为(a-d)多项式混沌展开(PCE)模型和(e-h)响应面法(RSM)与Box-Behnken (BB)采样。

图11:二阶PCE/ST模型与DoE/RSM的相关性显示了在情况下的良好一致性(a) PDF， (b) CDF和(c) 90%置信区间。通过(d) PDF， (e) CDF和(f)置信区间对COM进行分析，可以观察到良好到公平的一致性。请注意，PCE一直对COM持悲观态度。

在构造多项式模型时使用的样本数量是一个强有力的指标，表明使用了多少参数空间的信息，即模型的准确性。在某些情况下，RSM/BB似乎与MCS更密切相关，但它使用的信息几乎是PCE/ST的三倍。

为了公平比较和进一步研究这方面的问题，我们用55个PCE/ST样本构建了一个RSM。如表4所示，该模型的单样本精度低于使用145个BB样本构建的RSM。预期，它显示了与实际值相同的偏差，对应的PCE/ST模型。这是因为RSM中的多项式回归退化为求解用于获得PCE模型的相同方程组。另一方面，从更多的样本中构建PCE模型有望产生更高的准确性。事实上，从1000个蒙特卡罗样本构建RSM显示出更高的准确性。

灵敏度感知性能指标和应用

PCE的主要优势之一是能够从本质上评估所有考虑参数的全局影响。由此得出的方程(7)的Sobol指数是整个设计空间中不确定性相对影响的度量。基于提出的框架，我们在本节中演示了先前研究的100GBASE-KR4背板链路的深入合规性检查。

无需进一步计算，图12中的Sobol指数表明，介电介质是所考虑的设计空间中最具影响力的参数。事实上，它在传输和COM两种情况下都占主导地位。它的负敏感性意味着导数表示传输呈下降趋势增加。相反，连接器的质量因素表现出积极的敏感性。是问_C增加，有害共振频率远离．因此，传输得到改善。

虽然COM被定义为信号与噪声系数的比值，但它显示出与传输基频下的传输相似的趋势。注意包端阻抗R_d只在COM算法中考虑。因此,对该参数的灵敏度为零。

以前，统计量是根据整个设计空间得出的。图12显示了背板的电介质，以主导设计空间。为了确定高质量的电介质是否足以确保3db COM余量，对该参数的依赖性进行了进一步研究。

图12:PCE模型提供了(a)表示相对影响的Sobol指数和(b)输入不确定性的敏感性。背板的介电损耗在两者中占主导地位和COM在设计空间中，并作为主要设计参数进行进一步研究。IL被绘制为信道传输为了便于比较。这个传说适用于两个情节。

它与背板耦合模仿现有材料，例如:= 3.4对应tan= 0.005。其余7个参数的联合CDF由代理模型的蒙特卡罗样本得到。

图13a和13b显示了它与背板电介质的关系。请注意，典型的办公计算机在几秒钟内完成此任务。图13c说明了CDF是如何与百万分率(ppm)(也称为百万分率(FPM))直接联系在一起的。考虑到手头的综合设计空间，模型表现出良好的相关性。可以看出，选择低损耗的材料有晒黑的效果有利于手边环节的遵从性。它充分增加了COM余量，使所有其他参数的变化不再违反3db余量。

解决遵从性挑战可能并不总是像图13所示的那样简单。PCE模型可以立即为相关设计方案的更详细评估提供信息。相对影响可以根据一个或多个设计参数绘制。图14演示了传输过程COM短，COM长。请注意，这些图表需要仔细阅读。他们透露相对影响，即乍一看似乎不直观的趋势可能会被其他影响所掩盖。此外，图14d到14f中描述的灵敏度趋势与通常从分析器获得的信息不相似。相反，这些图显示了各自的灵敏度随背板介电介质变化的演变。

图14a和图14d可以理解为考虑到互连本质上类似于的有损耗传输线的模型．介质损耗与频率和几何长度成线性关系。因此，其对整体不确定性的影响最大的是通过12英寸背板。改变背板的损耗会提高或降低dB水平，但不会显著影响其他参数的依赖性。将其排除在比较之外，可以看出5英寸叶片中的介电损耗是第二大影响参数。

此外，如[23]所述，背板倾斜有效地降低了差动传输。COM的相应调查揭示了该性能指标如何比IL的信息审查更全面。时域分析考虑了广泛的频率范围，并显示出与连接器和封装终端阻抗R相关的更高的相对依赖性_d，两者都会引起反射。

增加背板损耗(在14b中从左到右)衰减这些反射，有效地增加了均衡信号的幅度．同时，信号被衰减，增加了叶片介质的影响。

图13:绘制(a)短和(b)长COM封装模型的部分CDF与背板电介质的对比图，可以看出高端材料如何确保低故障率。通常，较长的包传输线导致较低的COM。在失败/通过阈值为3db时观察到的CDF值集合在(c)中。注意CDF与故障率直接相关，例如100 ppm。PCE和RSM有很好的相关性。由于整个设计空间的1000个样品数量有限，因此无法获得MCS结果。采样范围被限制在插值设计空间(总范围的77%)，以便对多项式模型进行公平比较。

的Sobol指数的比较，虽然没有显示和表明这两个量的变化主要受信号反射的影响，即在的情况下的信号幅度的情况下的码间干扰和串扰．

随着背板损耗的增加和反射的衰减，这种依赖性降低。事实上,和表明在长封装传输线的情况下，Sobol指数对背板损耗几乎不再依赖。在查看图14c中COM long的图片时，参数变化的影响不太明显。较长的封装传输线有助于捕获的整体信号衰减．因此，COM对噪声系数的其他变化更加敏感．增加背板的损耗并进一步降低信号幅度，使得COM值更容易受到反射和对R的负灵敏度的影响_d增加。这并不意味着刀刃已经不重要了。这意味着，由连接器和R引起的反射_d成为更多的重要的。换句话说，较长的封装减少了COM余量(或等效的视距)，并且链路变得更容易受到噪声变化的影响。总之，对COM变异性的分析比对传输的调查更重要．当考虑构成COM比率的指标时，可以跟踪观察到的影响的相互依赖性和原因。和．

从设计人员的角度来看，图13揭示了每百万次失效(FPM)对于中间背板材料至关重要，即:= 3.8和= 0.01。

图14:所考虑的100GBASE-KR4链路中设计参数的相对影响和按量级计算的最具影响的灵敏度。对于所描述区间中心的标称情况，预测是最准确的。外面的裙子应该有所保留。的情况下，参数的相对影响遵循直觉，但由于信号和噪声量的相对度量，在COM比的情况下涉及更多。这个图例适用于所有的情节。

如果改变背板材料不是一个选择，例如，因为遗留的支持，提出的分析揭示了一些值得考虑的替代因素。通过提高连接器的质量和限制封装终端阻抗的变化，可以降低所研究链路的FPM。在这种情况下，需要同时考虑COM short和COM long的依赖关系。遵从性要求链接在这两种情况下都满足规范。

COM和BER分析中参数灵敏度的相关性

COM将损耗、反射、串扰和设备规格统一起来，允许通过单个值来比较通道。开云体育官网登录平台网址另一方面，以眼图的形式对接收信号质量进行可视化表示是一种成熟且常用的误码率分析工具。COM和BER的等价性以及它们各自传递的信息是正在进行的讨论的主题。然而，最近在[9]中建立了COM和BER之间的直接相关性。其中，COM算法产生的均衡阶跃响应与Tx和Rx噪声一起作为全统计模拟的输入。

在为这个项目进行的实验中，我们使用这个流程作为图4中框架的一部分，直接从COM算法生成眼图。开口在a处测量根据图15来查找与相应COM值的相关性。

COM和垂直开眼V_眼睛在图16所示的设计参数的相对影响和敏感性方面显示出类似的趋势。请注意，灵敏度是特定于输出量COM和V_眼睛．

图15:从眼图中提取眼睁开作为轮廓线．开口的特点是最大垂直V_眼睛最大水平(H_眼睛)打开。

图16:通过(a)输入参数的相对影响和(b)相应的灵敏度将COM和等效垂直睁开眼相关联，揭示了在捕捉趋势时良好的相关性。水平睁眼与所考虑的参数关系不大。COM的值与图12对应。这个传说适用于两个情节。

因此，为了便于比较，它们被标准化了。观察到的相关性表明，在筛选参数的敏感性和不确定性方面，眼图通常可以被认为相当于COM。

反之亦然，COM显示自己能够捕获相关的权衡和参数交互。从更广泛的意义上说，这对基于眼图度量的设计流程和遵从性检查是鼓舞人心的。像COM这样的优点提供了一种更简单、计算效率更高的通道验证替代方案。本研究证实COM是参数化链路设计的有用度量。

结论

提出的PCE工作流程提高了链路设计和验证的效率和有效性。它扩展了关于设计参数重要性的附加信息的遵从性检查，并量化了它们的不确定性的后果。我们提供的代码片段允许快速适应和不确定性量化全功能背板链接以及子组件。此外，所提出的工作流集成了任何首选的工具选择，并与现有的DoE流混合在一起。事实上，我们强调方法的兼容性如何在本文中实现彻底的比较和验证。在实践中，PCE和RSM的兼容性允许双重使用样本来交叉验证代理模型，而成本可以忽略不计。此外，由于ST的结构化采样方案，分段链接分析尤其受益于它。

所提出的框架在其公式中是通用的，可以用于机械PCB生产中的不确定度量化，就像它被应用于COM变异性研究一样。此外，所提出的框架非常适合教育用途，并深入了解参数之间的多方面关系以及它们对感兴趣的输出数量的共同影响。所有不确定度量化方法都有一个普遍的限制，应该记住:作为数字N随机自变量的增加，无论是PCE还是RSM都需要更多的样本来分离和量化每个变量的影响。然而，所提出的PCE/ST方法同样适用于计算效率高的随机筛选以及准确的分析。高次多项式阶P可用于此。

这篇文章以前发表在DesignCon 2018并获得最佳论文奖。

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