在所有高速应用中，金属损耗是影响设计质量的一个日益重要的因素。随着工作频率的增加，显然忽略金属表面粗糙度的公式大大低估了损失。近年来提出了许多方法[1-3]，通过对光滑金属的阻抗应用频率依赖修正引入了额外的损耗。这方面的最新调查可以在[4]中找到。

时至今日，一种被广泛接受的模拟粗糙金属阻抗的方法是取光滑金属的复频率相关阻抗，并对其应用倍增器它单调地从1增长到> 1。几乎所有关于这个主题的出版物(以及绝大多数商业上可用的模拟器)都假设这个修正乘数是一个实值函数。在文献中，它通常被称为“粗糙度校正因子”。

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每车道224 Gb/s:选择和挑战

由于光滑表面的内部阻抗由众所周知的“蒙皮效应”公式描述，其中阻抗的实部和虚部相等，对其应用实乘法器显然会产生复值，其中部分(阻抗的电阻和感应分量)也相等。例如，[2-4]给出了如下关系:，使而且绝对平等的。类似的方程/语句可以在许多其他出版物中找到，包括主要的教科书。

这是一个物理上有效的金属阻抗模型吗?我们能否将频率相关的实乘法器应用到因果关系中，平滑阻抗公式就是这样，而不违背因果关系?我们所知的提出这些问题的资料很少。

首先，在[5]中解决了这个问题，作者提到金属内部阻抗的感应部分和电阻部分通常不相等，但应该通过希尔伯特变换相互关联以加强模型的因果关系。的确，粗糙度校正因子定义并推导为在粗糙金属上耗散的有功功率与在完全光滑金属上耗散的有功功率之比。从这里，它只描述阻抗的电阻部分之间的比例关系。至于措辞，还是打给我比较好一个“损失修正因子”，因为我们没有明显的理由相信感应元件应该以同样的比例增加。另一份出版物[6]实际上应用了这一想法，找到了Huray粗糙度公式的因果版本。

值得注意的是，尽管这些结果为建立物理上有意义的金属粗糙度因果模型奠定了完美的基础，但基本上没有人注意到。因此，从那时起，常用的做法就没有改变过。也许，这可以解释为[5]没有提供已知模型的因果版本的实际例子，而[6]可能对读者来说太学术了，可能没有包含足够的证据来说服他们立即开始使用因果模型。

本文的一个意义深远的目标是为这一发展提供额外的动力，并使因果粗糙度模型成为模拟金属损失时主流范式的一部分。正如我们所记得的，这种情况在几年前随着因果介质损耗建模的引入而发生[7,8]。现在是金属的时候了。

此外，我们还想补充一些关于这一课题的知识空白，例如:

• 从给定的金属损耗修正系数的解析表达式(或另一种合理完整的描述)推导因果模型的一般方法。
• 粗糙金属的损耗修正系数、电感修正系数、复修正系数、内阻抗实部和虚部与电感之间存在基本关系。
• 对Hammerstad模型和Cannonball-Huray模型的因果版本和非因果版本之间的依赖性进行并排比较。
• 由指定为表列相关性的损失校正因子推导出因果粗糙度模型。

我们还表明:

• 由于因果关系的需要，粗糙金属的内部金属阻抗的感应部分并不相等，但看起来比相应的电阻部分大得多。
• 我们分析了使用金属粗糙度因果模型对传输线特性的影响。在其他条件相同的情况下，因果模型使线路的延迟和特征阻抗比非因果模型大。我们提供了正式计算这种差异的表达式。
• 当使用炮弹- huray粗糙度模型[11]的因果和非因果版本时，我们将带状线的测量特征与模拟进行比较。炮弹-Huray模型是一种基于等球体立方紧密堆积的简单模型，可用于确定球体半径和Huray粗糙度公式的面积参数。炮弹堆是一个立方紧密堆积的等球体的例子，因此为模型的名称。通过仅从制造商的数据表中获得已发布的导体粗糙度参数，该模型与高达50 GHz的测量结果表现出了良好的一致性。

本文组织如下:第一节给出了因果粗糙度修正乘数的一般关系，并概述了为给定的损失修正系数解析表达式推导因果修正因子的过程。在第二节中，我们将这种方法应用于炮弹- huray和Hammerstad模型。第三节分析了炮弹- huray模型和Hammerstad模型的结果。在第四节中，我们评估了在分析有损耗传输线时使用因果模型的效果。在第五节中，我们概述了当损失修正因子由表格给出时，寻找复杂因果模型的过程。在第六节中，我们将更详细地描述炮弹- huray粗糙度模型。然后，我们通过案例研究，使用炮弹- huray公式的因果和非因果版本来验证模型，并将其与测量结果进行比较。

一、一般关系

如[2,3]所示，表面光滑的金属内部阻抗与蒙皮深度有关，即电磁场对金属表面的有效穿透:

(1）

在哪里为频率(Hz)，自由空间的渗透率(H/m)和为金属电导率，S/m。由式可得，有效导电层厚度随，从而使金属阻抗成反比增加。从这里开始，它遵循了光滑导体的复阻抗的著名公式:，我们将稍微修改并表示为归一化频率的函数x：

（2）

在这里R_年代“蒙皮电阻”是吸收导体的一些材料和几何参数的常数因子吗S = ix是复频率。建立归一化频率之间的比例关系是很方便的x还有角频率分别为每种类型的金属粗糙度模型，我们将在后面选择它。在其他条件相同的情况下，粗糙金属表面的阻抗较大，因此可表示为

（3）

在哪里是由于金属粗糙度而产生的附加阻抗。如[5]中所述，由金属粗糙度引起的总阻抗和附加阻抗必须是因果函数，因此而且一定是相互的希尔伯特变换。在[1]和许多其他来源中，损耗校正因子被定义为在粗糙金属中耗散的功率与在完全光滑金属中耗散的功率的比率。从这个定义可以推导出损失修正因子为频率的实函数，也是粗糙金属阻抗的电阻部分与光滑金属阻抗的电阻部分之比:

（4）

在所有实际情况中，都假定，因为金属粗糙度对低频阻抗没有任何附加作用。

注意，使用这些关系是不合适的或，因为我们没有证据表明粗糙度对阻抗的感应(虚)部分的修改比例与对电阻(实)部分的修改比例相同。相反，我们应该假设存在类似的关系与复杂的(未知的)因素：

（5）

我们怎样才能找到呢？由(2)(4)可知:

(6）

我们也知道一定是因果函数。对于因果复函数，通过使用特定类型的Kronig-Kramers (K-K)关系，可以从已知的实部(6)恢复虚部。一次是缺失的虚部还原时，可得到未知的复杂修正因子为:

(7）

在已知因果复杂修正因子的情况下，由金属粗糙度引起的额外阻抗变为:

（8）

由式(8)可得光滑金属阻抗实部和虚部的因子为:

（9)

如我们所见，皮肤阻抗的实部和虚部因不同的因素而增加。实部描述了损耗校正系数，另一个是电感校正系数．同样，比较(4)和(9)，我们看到

（10）

这个结果匹配[6]。从这里得出的一个重要结论是，对于一个给定的适用于光滑金属复阻抗的复修正因子，损失修正因子是其实部和虚部之间的差值;而电感修正系数是同一复系数的实部和虚部之和。正如我们所看到的，金属粗糙度以不同的比例修改光滑金属的电阻和感应部分。

下面，我们还需要一个由金属粗糙度引起的附加复电感的表达式。复阻抗(8)与复频率之比为复阻抗和复电感的实部和虚部关系为．因此，电感的虚部为

（11）

正如我们所看到的，它完全由损失修正因子定义。

2寻找Cannonball-Huray和Hammerstad模型的因果修正因子

Cannonball-Huray模型

我们将使用上述方程来说明为炮弹- huray粗糙度模型的单个分量推导复杂修正因子的过程。如[3,11]所示，这些模型以和的形式定义损失修正因子

（12）

在哪里δ（f)是(1)中定义的蒙皮深度，a_n为代表粗糙金属的球形半径，因子A_n都是常数，由每个模型假设的几何图形定义。

让我们考虑一下n(12)中的-th求和，假设A_{n =}1．通过引入一个无量纲的归一化频率，我们将该组件表示为单个参数的简单函数:

（13）

然后，使用第一节中的定义和思想，我们推导出一个复杂因子，如附录a所示．考虑(12)中的所有求和，最终结果为:

(14）

Hammerstad模型

Hammerstad损失修正因子[2]为:

(15）

在哪里为RMS表面粗糙度，是皮肤深度。这里的归一化无偏移因子是

（16）

复杂修正因子的推导可在附录b中找到。由此产生的因果因子为:

(17)

在哪里S = ix是复频率，和x在(16)中定义。

3Hammerstad和cannon - huray粗糙度模型的因果版本

我们在前一节中概述的方法可以应用于任何其他类型的模型，如果损失校正因子是一个连续的分析函数表示。有些细节可能会有所不同，比如在寻找K-K积分时的可变技术。

在本节中，我们提出了Hammerstad和Cannonball-Huray模型的因果和非因果版本的正式结果。为了便于并排比较，我们将公式放入下面的表1中。为了完整起见，该表包含了光滑金属阻抗的定义和每种情况下使用的归一化频率。

我们可以看到，归一化复校正因子、因金属粗糙度而增加的阻抗和电感等复特性都是复频率函数。这些特征存在拉普拉斯逆变换，从而证明了它们的因果关系。同时，这些模型提供了损失增加因子(表1中的#2)，与对应模型类型的定义完全相同。

表1。描述因果Hammerstad和Cannonball-Huray模型的公式

现在让我们并排分析这些结果。在下面的图中，Hammerstad模型的特征用虚线表示，而Cannonball-Huray模型的特征用实线表示。如果图形提供了依赖关系的实部和虚部，它们将分别用红色和蓝色表示。通过[#n]，我们表示它在表1中的位置。

图3a说明了由于金属粗糙度而增加的复杂阻抗。电阻部分用红色表示;归纳用蓝色表示。在这两种情况下，感应成分大大超过电阻。非因果关系的版本认为，两者都是相等的，并与红色重合。两种模型在低频和高频都提供了相似的渐近线。在低频时，阻抗的感应部分随，而电阻部分增长为．在高频时，它们都增长为．然而，炮弹- huray依赖更平滑(实线)。

图3b显示了由于金属粗糙度而增加的复电感。这是我们在K-K关系中使用的方法。红色表示电感的实部，蓝色表示电感符号相反的虚部。注意电感的负虚部，在复频率上相乘后，变成正损失电阻。当使用非因果模型时，实际电感和损耗都与蓝色曲线重合，使得电感在低频时消失。在某种程度上，由于电感在低频时不会产生大的阻抗，在非因果模型中电感的显著缺陷仍然没有被注意到。尽管如此，正如我们将展示的那样，这种差异是明显的，而且实际上是重要的。

到目前为止，我们只考虑了由金属粗糙度引起的附加阻抗。这个阻抗对应于但如果考虑光滑金属的阻抗，这种贡献有多重要?

让我们分析一下，这是粗糙金属的内部阻抗，包括这两个组件。然而，在这里，我们还需要知道一个参数。学习时除了对于由于粗糙度引起的阻抗，我们假设损失因子k₀(x)在(4)中被归一化，即．现在，让我们考虑一下随着因素的变化一个= 1, 24岁,8。

结果如图4 (a)-(d)所示。有趣的是，图4 (a)， (c)中阻抗的电感和电阻分量是不相等的，并且不完全表现为．它们只在非常低和非常高的频率下这样做。但在中间，它们有一个变化，发生在不同频率的电阻和感应元件。

此外，如图4 (b)和(d)所示，即使在组合阻抗中，电感和电阻分量之间的比值也相当大，达到2-3倍。

图4。由粗糙度修改的皮肤阻抗(左)。感应元件与电阻元件之比(右)。第一行对应汉默斯塔德，第二行对应炮弹-胡莱

四、输电线路的因果粗糙度模型及特性

如果我们想知道模型因果关系或非因果关系如何影响传输线的特性，我们需要考虑更多的变量和参数。在本节中，我们假设单导体传输线的单位长度(PUL)参数是已知的，并将评估使用因果模型对一些重要特性的影响，即插入损耗、相位延迟和特征阻抗。这样，我们就能以正式的方式得到误差的一般估计。

我们从线路的传播算符开始，并将尝试简化它，假设电阻性损失产生的贡献小于阻抗的感应部分。同样，假设介质损耗产生的电导比电容产生的电导小。

因此，损耗可以在传播运算符中进行如下分离:

（18)

在(18)中，我们假设金属和介电损耗，分别为纯实数，因为相应的虚部被频率相关的PUL电感和电容所吸收．为简洁起见，我们将省略这些变量中的频率参数。

因此，幂中的虚分量和实分量可以分开如下:

(19)

(19)中传播算子的幅值可转换为插入损失:

(20)

如果有损失校正因子在时，在插入损耗图上应该可以看到它是皮肤电阻的乘数。如表1中的#6和#7所示，电阻部分有一个乘数，而对电感的相应贡献使乘数相等．从这里，我们可以表示频率相关电感为,在那里是在“无穷大”处的电感值。

非因果粗糙度模型对皮肤阻抗的电阻性和电感性贡献应用相同的因素。也就是电阻性损失类似于因果情况，但归纳成分更小是因为．为方便起见，我们将两种情况下电感的公共部分表示为．那么，因果和非因果情况的电感就变成了分别。

传播算子的大小是否受非因果关系的影响?

计算(20)中的插入损耗时，电阻损耗是一样的，不管模型的因果关系。改变的是电感。当使用因果模型时，它会变得更大。较大的电感会减小电阻损耗的影响，增加导电损耗。然而，电阻性损失在低频时占主导地位，而导电性损失在高频时占主导地位。这就是为什么具有因果粗糙度的模型在低频时损失略小，而在高频时损失更大。插入损耗的变化可估计为:

(21）

差异非常小，因为乘数改变了它的符号，仍然接近于零。

图5。(a)因果模型和非因果模型的IL图(红色/蓝色)，(b) IL依赖关系之间的差异:红色-直接从提取的s参数中发现，蓝色虚线-估计。

在图5 a, b中，我们比较了因果和非因果粗糙度模型生成的s参数的插入损失。图5a显示IL图实际上是相同的。差异确实非常小，如图5b所示，符号在大约3GHz时发生变化。式(21)给出了非常准确的估计值，虚线表示。