实时示波器FFT分析的六个原理|信号完整性期刊

我们生活在时域中。这是我们测量所有数字性能的地方。但有时，我们可以通过在频域绕路来更快地得到答案。有了这六个原理，我们就可以理解示波器是如何将时域测量结果转换为频域视图的。这六项原理都是通过带有快速傅里叶变换(FFT)函数的示波器“在引子下”应用的。

1.频谱是正弦波分量的组合

在频域中，我们唯一允许考虑的波形是正弦波。还有其他特殊的波形，它们的组合可以描述任何时域波形，例如勒让德多项式，埃尔米特多项式，甚至小波，但我们将正弦波单独用于频域描述的原因是正弦波是二阶线性方程和微分方程的解，这些方程经常出现在电路中，涉及电阻，电容和电感元件。这意味着当使用正弦波组合时，产生的信号或与RLC电路相互作用的信号比任何其他函数都更简单，因为正弦波自然发生。

在采集缓冲区中有一百万个电压-时间[V(t)]数据点的示波器测量的正弦波(图1)在频域中仅由三个数字描述:频率值、振幅值和相位值。这是对原始复杂波形的戏剧性简化。

图1所示。一个100兆赫的正弦波在时域和它的频谱在频域显示一个峰值在100兆赫。

2.将一个波形无限地附加到自身创建一个周期波形

当我们在时域取一个波形并将其转换到频域时，我们最终得到了一组正弦波，每个正弦波都有一个频率值、一个振幅和一个相位。在时域中，我们将测量值描述为一个采集缓冲区，它具有总采集时间T和样本之间的时间间隔，△T.当我们在频域描述相同的波形时，我们指的是所有正弦波分量的集合——每个分量都有频率、振幅和相位——作为频谱。

不幸的是，我们只能在周期性的V(t)波形上使用离散傅里叶变换(DFT)。如果它不是周期性的，我们必须人为地使它具有周期性。我们用来将任何测量数据的任意采集缓冲区转换为周期波形的技巧是获取总时间T的采集缓冲区，并在过去和未来永远重复它。

当我们有这种人为重复的波形时，我们可以应用DFT的幂来从数学上计算频谱中的每个频率成分。下面是用于计算每个频率分量的振幅和相位的方程:

这些积分创造了光谱中的某些特征。

3.频谱中只出现离散频率;最低的才是根本

在计算的频谱中，只有离散的频率值出现。频率最低的分量称为基本．这是最低频率的正弦波，我们可以放入采集缓冲时间。频率最低的正弦波的周期P，就是总采集时间T。

由于P = T，基频为:

频谱中的每个频率成分都有一个频率，它只是基波的整数倍:

基波的倍数是我们在频谱中看到的唯一的频率成分。这意味着，每个频率分量之间的频率间隔，或决议，为基频。如果我们想要更高的分辨率来区分频谱中间隔更近的频率特征，我们需要在示波器中使用更长的采集时间。

4.最高频率是奈奎斯特，或者是采样率的一半

频谱中的最高频率分量与缓冲区中采样点之间的时间间隔有关。至少，我们需要在一个周期内测量两个V(t)点来计算该频率分量的幅值和相位值。这意味着我们可以计算的最高频率正弦波的周期是时间间隔的两倍，或Pmax = 2 x△T。

频谱中最高的频率成分也被称为奈奎斯特频率。因为采集数据的采样率为1/△T，奈奎斯特频率，我们可以计算出正弦波分量的最高频率是采样率的一半。当采样速率为10gs /s时，奈奎斯特频率为5ghz。

理想正弦波的平均值总是0。这意味着当我们使用一组正弦波来描述一个真实的波形时，重新创建的时域波形的平均值总是0。但是真实的波形有一个平均值，即直流偏移。为此，我们将直流分量存储在0 Hz频率分量中，即0 x基频分量。在大多数示波器中，可以不标出0^th频率分量，以放大显示器的规模。

5.通过首先截断缓冲区到2^n个样本点的FFT速度计算

100万个数据点将涉及大约1万亿次DFT计算来创建一个频谱。这可能需要更长的时间来计算。为了解决这个问题，我们使用了DFT的更快版本，称为FFT。它计算与DFT相同的积分，但它应用矩阵数学来执行计算，使用的点数总数是2的幂。如果缓冲区中有100万个点，FFT计算中可以包含的最高点数将是2^19 = 524,288点。我们丢弃了几乎一半的测量数据，以获得令人难以置信的快速计算时间。

执行FFT的第一步是定义采集缓冲区中包含要计算的2^n个点的最大数量的区域。大多数示波器允许您选择时域屏幕的中心区域或从左边缘计数。图2显示了将包含在FFT计算中的虚线之间的区域。

图2。垂直虚线之间是采集缓冲区的区域，其中包含FFT中使用的2^n个点。

当采集缓冲时间为1µs，并且我们有100万个点时，我们期望基本带宽为1 MHz。在频谱中，FFT采集缓冲区小于此，这意味着实际分辨率略大于1 MHz。但在考虑频谱特征时，这些估计值仍然是一个很好的值。

6.窗函数防止由于截断造成的光谱泄漏

为了创建周期波形，我们将采集缓冲区无限重复。在使用FFT函数时，我们进一步截断采集缓冲区，并无限重复截断的缓冲区。这意味着在每个附加的采集缓冲区的边界处，对应于一个缓冲区的结束和下一个缓冲区的开始的波形可能存在不连续(图3)。

图3。在采集缓冲区中不具有整数周期的正弦波信号的示例。当彼此附加时，在缓冲区的每个边缘的波形中有一个不连续，由美国国家仪器公司提供。

通常，在每个缓冲区中具有整数个周期的正弦波的频谱将在其峰值频率处具有单个频率峰值。然而，如果正弦波由于截断采集缓冲而被人为切断，无限长的波形现在将具有不连续，将迫使一些频率分量从峰值频率变为相邻的频率分量，这可能导致窄峰值的失真。

这种效应叫做频谱泄漏．它是由于第一个电压值不与最后一个电压值相同而在缓冲边界处的不连续所造成的伪影。减少这种假象的方法是通过将整个采集缓冲区乘以窗口函数来人为地减少不连续。这逐渐迫使采集缓冲器两端的电压值为0，保证一个缓冲器的结束与下一个缓冲器的开始是连续的。

有许多常用的窗口函数。它们在允许的光谱泄漏量和最终的分辨率上有所不同。除非你有强有力的令人信服的理由，否则我们建议你总是使用von Hann(有时称为Hanning)或Blackman-Harris函数。

频域时域波形分析

光谱分析的价值在于能够识别频率在基本(1/采集缓冲)和奈奎斯特(½x采样率)之间的范围内的重复信号的光谱“指纹”。示波器每测量一个新的时域电压采集缓冲器，就会显示新计算的频谱响应。当源中的周期信号发生变化时，它们的光谱指纹也会发生变化。

任何可能有助于识别给定频率的周期信号的应用程序都是实时频谱分析的最佳候选程序。最常见的应用是搜索重要信号的干扰源。图4显示了开关模式电源(SMPS)在负载改变时输出的频谱响应。峰值在50千赫左右，开关频率随时间变化，负载变化，如图上半部分的频谱图所示。当你观察放大器的噪声或振荡器在这些频率成分中的抖动时，你就有了一个可能的根本原因的想法。

图4。当输出负载发生变化时，SMPS输出的实时频谱示例，显示峰值频率的时间变化。