让我们面对现实吧，互连是电子元件之间通信的主要瓶颈。每个串行信道25- 30gbps正在成为主流，但是100gbps呢?这样的数据速率甚至更高的数据速率可以在芯片上小规模地产生和传输，但是如何通过封装和PCB互连到其他组件?是否有可能设计出对这些数据速率具有可预测行为的信号透明的互连?在现有的大规模制造技术和主流EDA建模软件的现状下，即使在28gbps的带宽下，也很难甚至在许多情况下不可能实现分析到测量的相关性，并且在更高的数据速率下是指数级的挑战。
障碍是什么?现有PCB和封装制造过程中的损耗和色散材料以及互连本地化的违反可能是最大的两个障碍。为了建立可预测的模型，首先，我们需要了解材料的物理特性，并对电介质和导体使用极宽的模型。如果没有它们，即使是互连的3D电磁分析也无法与测量相关联，从而在互连设计周期中引入高风险。本文解释了导致信号退化的导体相关损耗和色散效应的物理原理。特别地，对平坦和粗糙导体表面的趋肤效应进行了详细的物理解释，并举例说明。我们将主要在具有两个或多个导体的传输线中使用准瞬变电磁波进行信号传输的情况下讨论导体效应。
分析这样的相互联系3D和全波工具并不能自动保证所有导体相关的影响都得到适当的考虑。例如，最初为微波应用开发的求解器被优化为分析相对窄带系统和集肤效应发展良好的频率。这样的模型在低频率和中频无效，其中没有皮肤效应或皮肤效应尚未开发，模型必须包括数字应用的这些频率。因此，宽带互连模型可能在低、中频处表现出提取的电感和电阻的非物理行为，并违反因果关系要求。换句话说，在3D EM工具中，通常忽略了迹线和金属面向趋肤效应的过渡。在三维全波时域工具中，频率相关的蒙皮效应尤其难以高精度地近似，这种近似通常受带宽限制。粗糙导体表面的趋肤效应会对信号退化产生显著影响，大大增加了导体相关损耗。然而，只有少数电磁工具具有与pcb测量相关的先进导体粗糙度模型。
PCB和封装互连通常使用导电走线、导线和平面来连接电子元件。这里我们不讨论无导体介质波导或光互连。基于导体的互连或波导结构通常具有多种优点，并且可以潜在地支持高达每秒太比特甚至更高的数据传输速率。不过，要做到这一点，我们至少要了解导体的宏观电磁特性。
导体这个词在这里有两种用法:导体是指材料(例如铜或其他金属)，导体是指互连或相应传输线模型的导电元件(例如信号或参考导体，例如迹线或平面)。通常从上下文中可以看出导体一词的含义。
导体作为材料
我们从导体的正式定义开始。导体一般是允许自由电荷流动的材料。用电流密度项描述了自由电荷的宏观运动J免费的在图1所示的麦克斯韦方程组的安培定律中(参见附录1中完整方程组背景下的安培定律)。让我们将注意力限制在线性时不变(LTI)和各向同性材料(参见附录2中的定义)。这个假设适用于几乎所有用于制造PCB和封装互连的导体。当电场(基本上是对单位电荷施加的力)作用于内部有自由电荷的材料时，电荷开始朝着电场的方向移动，如图1所示。
图1所示。用安培定律和欧姆定律描述的电场中电荷的平移运动。
注意，与信号传播速度相比，电荷的移动速度非常慢——在室温下，电场为1 V/m[2]时，铜中的电荷移动速度约为5 mm/s。电荷的平移运动用测量的宏观电流密度参数A/m^2(这里使用SI单位)来描述。通过导体的总电流等于电流密度在导体横截面上的积分(它只是电流密度和直流时导体横截面面积的乘积)。一般来说，电流密度取决于电场、温度和其他一些参数
。然而，对于LTI各向同性导体，电场强度与电流密度之间的关系特别简单，可以用第一本构方程或称为欧姆定律的物质方程来表示
对于几乎所有与互连相关的情况，它都是简单的线性依赖。其中σ为体积电导率，单位为西门子/m或1/欧姆*m。电导率通常是色散的(它与频率有关)，但在太赫兹频率范围内，良导体几乎是恒定的。体积电导率的倒数是体积电阻率
，单位为欧姆*m。
几乎所有现有的材料都有自由电荷，并与体积电导率或电阻率的非零值有关。自由电荷数或电导率或电阻率值可用于将所有材料区分为良好的介电体或绝缘体和良导体，如图2所示[3,4]。
图2所示。电介质和导体的共同特性。
在优良介电体和优良导体之间的边界上有一些材料，但它们不在本文的讨论范围之内。介电极化行为对信号退化的影响将在“互连如何工作”系列的另一篇论文中讨论。理想的绝缘体或介电体具有零体积电导率或无限大体积电阻率。这只是真空的性质，不存在这样的材料。最好的固体介电石英之一的体积电导率约为10^-17 S/m。用于构建pcb和封装互连的隔离材料的电导率范围可从10^-10到10^-12(玻璃)S/m。
理想导体具有无限大的体积导电性或零电阻率。它是一种抽象或不存在的材料，不应与具有极小电阻率的超导体混淆，但也具有与电荷对的动态电感相关的特定时间色散。用于PCB和封装互连的导体的导电性范围可能在5*10^6(铅)到6.1*10^7 S/m(银，最佳导体)之间。退火铜的体电导率约为5.8*10^7 S/m。这是电阻率的倒数1.724*10^-8欧姆*m。经常观察到，由于制造工艺的特殊性和不均匀性，用于制造互连的铜的导电性可能略小(电阻率较大)。然而，它也可能与导体横截面测量的不确定性有关，这种不确定性来自于由于大粗糙度引起的导体边界的不确定性(稍后讨论)。
导体中的电磁场和电流
pcb上的导电走线和面可以正式建模为具有两个或多个导体的传输线段和不连续模型的组合[5,6]。多导体传输线模型通常用静态、准静态或电磁场求解器来构建。多导体传输线以横向电磁(准tem)波为主，用高精度的Telegrapher方程形式化描述[7,8]。场求解器提取单位长度导纳和阻抗以及模态参数，如模态复传播常数和特征阻抗，用于进一步分析线段和完整通道。我们需要了解导体对用于传输信号的波的复杂传播常数和特征阻抗的影响。复传播常数的实部是衰减。在较高的频率和衰减较高的t线中，信号损失较高。复传播常数的虚部定义了传输信号的相位。如果色散是频率的线性函数，则不存在色散，这种理想的连接具有平坦的相位或群延迟。任何相位偏离线性都会使信号失真(不同的信号谐波有不同的延迟)。 The conductor-related effects are mostly included into the p.u.l. impedance part of the Telegrapher’s equations
。阻抗的实部R(f)是导体的频率相关p.u.l电阻。虚部由电感组成，电感可进一步分为外部电感和导体内部电感随频率变化的两部分
。利用电阻和内部导体电感便于对导体相关效应进行定性分析。
在多导体线路中传播的准tem波具有主要与线路横截面切向的电场和磁场分量，并且信号通过导体外的这些场沿线路传播。如果存在非均匀或多层介质，以及此处讨论的损耗导体或非理想导体的情况下，场可能沿着线具有分量。理解信号能量是由电介质(或真空)中的电磁场传输的，而不是由导体中的电流传输的，这一点非常重要。在数学上，导体内部的场可以用没有位移项的麦克斯韦方程(
在安培定律中)作为磁准静态或扩散问题。根据欧姆定律，主要是沿着导体方向的电场导致电流在导体中流动。记住电场是作用在单位电荷上的力。电流产生的磁场在导体周围和导体内部循环，如安培定律所述，如图3所示。另一方面，根据法拉第定律，磁场的变化会产生与电流方向相反的电场，与产生电流的电场相反。相反的电场在低频时很小，但随着频率的增加而增大。因此，从某些频率开始，我们可以观察到导体内部的电场和相关的欧姆定律电流密度抵消效应，如图3所示。在足够高的频率下，导体内部靠近表面的电磁场可以近似为传输导体内部能量的平面波，如图3所示。这是大多数电磁场求解器中使用的表面阻抗边界条件或SIBC的基础。对于矩形导体的简单情况，它产生的导体电流分布不均匀，如图3所示。 Parameter δ年代图3中导体中电场或电流密度的复指数函数称为趋肤深度，可计算为
。式中为体电导率σ，单位为S/m; ρ为体电阻率，单位为欧姆*m; μ为磁导率，单位为H/mf为频率，单位为Hz。
图3所示。皮肤的效果。高频时导体内部电场和电流的抵消(右)和导体内部电场和电流密度的指数平面波近似(左)。呈t线的矩形导体，信号沿y轴传播，横截面在xz平面上。
趋肤深度δ年代在更高的频率下变得更小最终变得比导体的横截面小得多我们可以把这个状态叫做成熟的集肤效应。正如公式所预测的，导体内部的能量被传输到与导体表面垂直的方向，而不是信号传播的方向!这可能很难理解，但导体内部的所有这些移动电荷与信号能量沿线路的传输无关——导体只是吸收能量。导体形成了传输线的场，但导体内部的过程与信号传输无关，至少对准瞬变电磁波来说是这样。此外，图3所示的电场和电流密度公式(这是非常精确的近似)也预测了距离表面一定距离处的电流与导体表面上的电流方向相反!这种效果打破了整个当前的方向概念。如果我们只看电流密度的大小(这通常是为了解释趋肤效应)，电流会呈指数递减。而实际的电流密度是用复指数函数的实部来描述的(它适用于所有在频域描述场分量的复变量)。这意味着电流将在距离导体表面仅两个皮肤深度处沿相反方向流动，如图4中矩形和圆形导体所示。它可能更难理解，稍后我们将用其他数值例子来说明它。如果用导体电阻率除以圆形导体表面的表层面积，就得到导体单位长度的电阻(p.u.l)。随着面积成比例地缩小
与此同时，联合工党的抵抗也在成比例地增长。这个定性的结果实际上是非常准确的，尽管事实上电流密度并不局限于皮肤层。这也是最初用于皮肤深度术语定义的一种理由。导体中的电场抵消实际上增加了靠近导体表面的薄层中的电流密度(假设波传递相同的功率，电荷被推到表面，总电流变化不大)。这一事实也可以用来解释单位长度电阻率的增加和单位长度导体内部电感的减少。由于电流在薄层中流动，位于导体内部的磁场较少，因此位于导体内部的磁场能量较少(与此相关的内部电感较少)。
图4所示。导体内部的电流反转。矩形导体(带参考导体的数值解)和圆形导体(精确解析解)内电流密度的大小、实部和虚部。实部是实际电流。
如果导体表面不是平坦的，并且有小的凸起(粗糙度)，则能量的吸收发生在导体表面凸起处(假设凸起比传播波的波长小得多)。粗糙的导体表面会有更多的面积从信号中吸收更多的能量!就这么简单，但是这种效果的量化是比较困难的，我们将在后面讨论。粗糙导体上的面积增加可能是实质性的-例如PCB和封装导体的两倍或更多。这意味着导体损耗可能会增加数倍。我们将在后面详细讨论它是如何影响信号传播的。这种效果可称为粗糙表面上的起肤效应。不过，考虑到所有因素，“吸出效应”一词实际上比一般的“皮肤效应”更合适。
导体对信号传播的影响分析
有三个主要因素决定了传输线导体中电流的分布以及相应的信号损耗和色散。这些是导体的体积电阻率，导体的形状和导体的接近度(例如，条形和平面)。此外，表面粗糙度和导体周围的介电介质改变了互连中的电流密度，从而改变了pul阻抗。频率相关的导体效应可以定性地分为三个频率区域——低、中、高[9,10]。这种分类可以根据导体中电流密度分布的状态[9]，也可以根据单位长度导体阻抗的性质[10]。请注意，任何分类都是必要的，只是为了了解模型的局限性，这些模型只包括一些影响，而不考虑其他影响。图5中的图表提供了导致信号退化(衰减或损耗增加和相位失真)的导体效应的定性说明。图表上的频率轴从上到下。过渡态的实际频率取决于互连或尺度的物理尺寸，稍后将进行量化。电流在直流至较低频率的均质走线和平面导体中均匀分布(复合导体即使在直流时电流分布也不均匀)。单位长度对应的阻抗(p.u.l)。实部L几乎是常数直流电感量R几乎恒定的电感部分直流这是电场和电流密度在条状和平面内均匀分布的特征。请注意，导电平面在这些频率下没有屏蔽作用。
图5所示。电流密度随频率的增加而变化。在直流频率下，电流均匀地分布在条形和平面导体上。在相对较低的频率下，由于邻近效应，电流集中在带材下面。随着频率的增加或在中频处，导体表面附近和带材边缘的电流密度增大。最后，在高频下，趋肤效应很好，粗糙度和色散加上边缘效应可能会进一步促进电阻的增长，改变导体内部的p.u.l电感。
在PCB机箱中，电流分布在低至10khz的频率下开始改变，平面电流集中在带材以下，以尽量减少平面吸收的能量(尽管这些损失随着频率的增加而增加)。这第一个转换对串行链路的分析没有太大影响，并且可能对模拟不那么重要-由于串行数据链路中使用的交流耦合电容器，实际上没有低于100 kHz的信号谐波。在中频范围内，导体内部发生电流密度再分布。相应的效应是不可分离的，通常有不同的名称，如邻近或拥挤效应、边缘效应、过渡到皮肤效应。在中频时，由于导体面积随电流和磁场的增大而减小，电阻p.u.l增大，而内部导体电感p.u.l减小。在较高的频率下可以看到趋肤和边缘效应，最后，在高频率下，大部分电流在非常薄的表面层中流动，相应的状态可以表征为良好的皮肤效果。没有边缘、介质和接近，高频电阻成比例地增长导体内感随1/减小。非均匀介质色散和边缘或邻近效应的相互作用进一步加速了频率为[10]的电阻p.u.l的增长。这是有效的，即使非常低的损耗，甚至理想的电介质使用。此外，粗糙度会导致高频电阻p.u.l的显著增加[11-13]。
导体的形状和介电性质对导体的能量吸收有重要影响。尽管如此，我们可以确定介质或过渡频率为不同的互连技术，使用条带或微带线如图6所示。
图6所示。铜导体的过渡频率。纵轴为带材或平面厚度，单位为微米，横轴为频率，单位为GHz。条带厚度等于皮肤深度的0.5及以下(蓝线)视为电流分布均匀的区域(低频)。条带厚度等于5个趋肤深度(红线)及以上被认为是趋肤效应发育良好的区域(高频)。
这可以在条带或平面厚度与不同频率的蒙皮深度的比率的基础上完成。如果导体厚度小于或等于0.5δ年代(半皮肤深度)皮肤效应几乎不可见(电流密度均匀分布)。我们使用它作为无皮肤效应区域的边界。对于特定的迹线厚度，我们可以定义低频区域——它位于图6中左侧蓝色曲线下方。对于0.1 um走线厚度或宽度的互连，在图5中轴的尺度上，高达100 GHz的频率可以被认为是低频率。在这些频率下，可以使用无色散的简化模型来分析集成电路互连。另一端，用于PCB互连的低频区域落入高kHz区域。当条带厚度等于2δ时的频率年代，皮肤和边缘效果变得可见，但皮肤效果尚未很好地发展。根据微波工程中的经验法则，只有当导体厚度等于0.5δ时，集肤效应才会很好地发展年代(五skdepth规则)。我们将用它作为图5中发育良好的集肤效应或高频区域的边界。我们可以推广这一观察结果，并定义0.5δ的过渡区域或中频范围年代5δ年代。不同的互连技术，如图6所示。pcb和封装上的条带或平面厚度范围从50um到1um，相应的转换频率范围从1mhz到10ghz以上。
来说明导体内部和周围的过程，让我们使用一条对称的带线，带7mil宽1.2 mil厚的走线和两个1.2 mil厚的平面，在带的上方和下方8mil的距离(典型的PCB走线)。条形和平面都是铜制的。该条带为低损耗均匀介质，在1 GHz时介电常数为3.76，损耗正切为0.006，并模拟为宽带Debye或Djorjevic-Sarkar介电以解释介电色散。在不考虑导体表面粗糙度的情况下，利用三维全波3DTF求解器计算了不同频率下带状和平面导体中的电流密度分布Simbeor太赫兹软件[14]，如图7-9所示。图中以对数比例尺的彩色图显示了电流分布的峰值。0 dB对应的是随频率增加的最大电流密度值。图片右侧的插页以线性刻度箭头表示峰值电流密度分布。蒙皮深度值在图片上显示为sd，导体厚度与蒙皮深度的比率也显示为感受效果的规模。请注意，在高频率下，皮肤层很小，甚至很难将其可视化。图7-9使用了三角剖分，并在颜色图上引入了一些不对称。虽然，插入件上的箭头视图显示，电流在条带的顶部和底部表面对称流动，并且在中频和高频的电流最大值中，在角落中观察到(对称也适用于平面)。注意，电流密度的最大值随着频率的增加而增加。同时，该数值实验在所有频率下的总电流是相同的，大约为0.01安培(在条形和平面上的流动方向相反)。
图7所示。低频时对称条形线的条形面内电流密度分布——条形面上电流分布均匀，从条形面上几乎均匀分布到条形上下较大的电流密度分布。
图8所示。从低频向高频过渡时，对称条形线的条形面及条形线内的电流密度分布——电流在条形线上的分布首先变得不均匀(上图)，最后在条形线及条形线的表面形成薄层流动。
图9所示。高频情况下，对称带线和带线平面上的电流密度分布——极薄层内电流流动，导体边角处电流密度较高。
用Simbeor 3DTF求解器计算不同频率下的条形线截面内的功率流如图10所示。它基本上说明了这样一个事实，即功率在带材和平面之间的电介质中传递。电流在平面上的拥挤和边缘的集中改变了功率流分布——更多的功率流更靠近带材(局部化)和在带材边缘附近(边缘效应)。同时，如图10右插片所示，带材内部的功率流矢量指向带材内部。所有向量在特定频率下归一化到最大功率并着色。在带状线路中，与导体损耗相关的功率流与在高达1ghz频率下通过横截面的功率流相比是非常小的。因此，矢量长度不按比例在图片上看到潮流方向。向量的颜色表明实际值非常小。在30ghz时，与导体损耗相关的功率流变得更大——在这种情况下，矢量长度被缩放。请注意，更多的功率被吸收在条形边缘上-它对应于图9中观察到的边缘上较大的电流值。
在这个YouTube视频中可以看到电磁场和瞬时电流的动画https://youtu.be/iys0de3Xq4E
微带中的电流见Simberian app note #2015_01在这段YouTube视频中https://youtu.be/epT8INlmCCg
图10所示。不同频率(对数)下带状线截面上的潮流(坡印亭矢量峰值)。矢量在条形和平面导体以外的区域沿传输线方向运动。在导体内部，矢量指向导体内部，如插入条上的条带所示(矢量在0.1、10 MHz和1 GHz时不缩放，以获得更好的可视性，仅在30 GHz时缩放)。
导体表面粗糙度效应
高频下的导体表面粗糙度是信号衰减或退化的另一个主要因素。目前大规模生产的印刷电路板还不可能对导体和介质表面进行抛光。粗糙度可使总互连损耗增加50%甚至更高，如[11-13]所示。实际上，铜箔的制造商故意使表面粗糙，使其粘在电介质上，更难去层压。从技术上讲，PCB或封装规模上的粗糙度效应只是由于暴露在电磁场中的导体面积增加而导致非平坦导体表面吸收的增加。在较低的频率下，粗糙度只对导体的有效电阻率有影响(可能增加它)。但是，随着频率的增加，集肤深度变得相当，然后小于导体表面的凸起，我们观察到非平坦导体表面的集肤效应。图11中的图表提供了指导方针，以确定在互连分析中必须考虑粗糙度的大约频率。一旦粗糙度峰谷均方根(rms)值与皮肤深度(皮肤深度的0.5-1)相当，就必须在分析中考虑到它。一些PCB制造技术具有高达10微米rms的粗糙度(标准或反向处理铜箔- STD或RTF)，在低至40 MHz的频率下开始降低信号。相比之下，rms粗糙度低于0.5 um (VLP, HVLP, ULP铜箔)的互连建模可能不需要在低于5-10 GHz的频率下进行粗糙度模型。从这一观察中得出的第一个结论是，减小粗糙度凸起可以减少与之相关的损失。
图11所示。铜的均方根表面粗糙度值与蒙皮深度之比:棕色线- 10微米，品红- 5微米，黑色1微米，蓝色0.5微米，青色- 0.1微米。如果比值为0.5或更大(阴影区域)，则必须在模型中考虑粗糙度。
不幸的是，事情并非如此简单。铜箔制造商试图使较小的凸起更粘，更能粘附到电介质上。这种表面具有大量的结构(见图12中的例子)，增加了吸收面积(技术上是准tem波的有效吸收长度，导体中的电场沿波传播方向定向)，并可能大幅增加导体在高频下的吸收和相应的损失。
图12用轮廓仪[13]测量的带线截面微照片中的粗糙导体表面示例。
如图12所示，粗糙导体表面的复杂性使得粗糙度建模特别困难。轮廓仪的测量不能提供微观照片上可见的表面的所有细节，并且在模型构建中使用这种测量是非常有限的。一般来说，仅通过测量表面的物理结构很难量化粗糙度效应[12,13,15]。
导体粗糙度建模是一个正在进行的研究领域-参见[13]中的概述。对这些表面的直接电磁分析根本是不可能的——甚至表面的结构一开始也是未知的。即使我们正确地“扫描”表面几何形状，这也是完全不实用的方法。我们将只讨论两种适合于实际目的的方法。
第一种方法是用“有效”材料层来模拟粗糙度。导体表面的导体和介电的混合物可以被模拟成一层具有某些“有效”性质的材料。一般来说，这种层可以是导电层或介电层或两者的混合物。在[16]中引入了“有效”粗糙度介电方法，如图13所示。
图13导体表面粗糙度建模的有效粗糙度介电法。在模型中，导体表面含有导体和介电介质的薄层被转化为具有有效介电常数的薄层介电介质。
在这种方法中，导体与介质边界定义的不确定性较小，边界被过渡层所取代。另一方面，模型参数过多。例如，特定类型表面粗糙度的介电模型类型和这种模型的参数在铜箔电子表格中不容易获得。
第二种方法是在传输线或电磁模型中使用粗糙度校正系数。该方法基于导体表面非平坦度导致的衰减随频率增加的估计，其公式除频率外还包含一个或多个参数。也许，第一个也是最简单的粗糙度修正系数(RCC)就是所谓的Hammerstad-Jensen模型[17]。它是针对具有60度三角形凸起的导体表面而导出的，广泛用于微波应用中，以评估带状和微带线衰减的增加。该模型的主要缺点是预期衰减增量的最大值为2。对于微波应用来说，这不是一个问题，在微波应用中，表面深度通常比表面粗糙度凸起大得多(他们使用的制造技术几乎没有粗糙度)。对于PCB和封装应用来说，情况并非如此，在这些应用中，表面凸起可能是可比的，并且通常大于蒙皮深度。为了克服2因子的限制，最近在[12,13]中引入了改良Hammerstad RCC (MHRCC)，如图14所示。粗糙度校正系数Ksr有两个参数:Δ或表面粗糙度(老)参数近似为粗糙度凸起峰谷测量的均方根值，且射频定义由粗糙度引起的损失的最大预期增长(粗糙表面的表面积或有效吸收面积或长度的增加)的粗糙度因子。Ksr在较低频率下为单位(衰减不增加)，当Δ = 1微米时随频率增长如图14所示。射频=2对应于原始Hammerstad-Jensen模型的60度三角形凸起(红线)，并预测衰减增加2倍。
图14修正Hammerstad粗糙度修正系数。该公式描述了沿带三角形凸起的导体表面传播的平面波衰减的增加。平面波的功率流矢量沿着表面方向，但功率流到凸起的导体上(红色箭头)。
具有较大SR值的表面会增加低频处的衰减。然而，这样的表面可能具有较大的RF值，并且在更高的频率下预测更多的损失。在PCB应用中，具有低轮廓粗糙度的导体可以使衰减增加2倍以上(RF bbb2)。图14还说明了解释模型物理特性的功率吸收过程。
图15Huray雪球粗糙度修正系数。原始功率损耗估算公式(上式)和每球2个参数的简化模型(Ksr，下式)。
为了估计粗糙导体表面上的损耗，Paul Huray b[18]解决了导电球上的平面波衍射问题，并用它来评估多个球的功率损耗，如图15所示。这种方法的原因是观察到一些导体处理过程产生的表面看起来像一堆雪球，如图15所示的显微照片。该模型不是一堆连通球体的解，但可以用作第一近似。将原功率损失公式转化为图15所示的每球两个参数的碾压混凝土。与MHRCC一样，Huray的雪球RCC (HSRCC)在较低频率下的值接近单位，并随频率增长，如图15所示。球直径越大，在高频处衰减增大越大。
MHRCC和HSRCC模型都有“物理”解释或背景，但通常很难或根本不可能将导体表面的几何形状与模型参数联系起来。导体表面的几何形状通常从一开始就不知道。尽管如此，MHRCC和HSRCC都可以简单地视为参数模型和参数拟合，以匹配测量的插入损耗或衰减[19,20]。这里的推理和电介质的因果模型一样，比如德拜模型——作为工程师，我们不关心什么特定的原子或分子产生了特定德拜项的弛豫。我们可以把它适配到尺寸上，然后开始使用。
考虑到粗糙度校正系数在互连分析中的应用，这里有三种选择，如图16所示。
图16所示。利用粗糙度校正系数分析粗糙度对信号传播的影响
所有粗糙度校正系数(Huray 's snowball, Modified Hammerstad，半球形模型，Sandstroem模型，随机模型，-参见[13]概述)最初只是作为传输线衰减的附加因子，用于评估损耗增加(图16中的第1项)。这是最简单的方法，但在互连分析的背景下，只能用于粗略评估信道中的衰减增加。如果在t线模型中只是衰减增加，则该模型不是因果关系。利用静态或准静态场求解器对t线截面进行分析，RCC可以对传输线总p.l.阻抗的内部阻抗部分进行校正，如图16第2项所示。这种方法是因果关系，因为它修改了导体阻抗的实部和虚部。然而,p.u.l阻抗的校正不能解释导体中电流的实际分布。如图8和图9所示，导体边缘的电流可以大得多。此外，微带线的上下两侧的电流可以有很大的不同。对于不同的t线模式，电流分布也不同。所有这些都导致观测到的衰减随频率增长的差异。为了考虑导体上的实际电流分布，必须在数值电磁模型中在导体和电介质之间的局部边界处应用粗糙度校正系数，如图16中的第3项所示。例如，如果用阻抗矩阵或阻抗算子描述导电材料的内部，则可以简单地通过将其乘以对角线上RCC的平方根的两个矩阵来调整，如[12,13]所示。从技术上讲，这种变换对应于在导体内外Trefftz有限元边界上，将变换系数等于RCC平方根的理想变压器连接起来。这种方法可以很容易地实现在使用阻抗或散射参数来解决电磁问题的方法中。该方法是因果关系，并考虑到实际的电流分布，但它具有导体-介电边界定义的不确定性。 There must be an procedure to define the boundary as proposed in [15].边界定位影响“有效”导体电阻率和电容，从而影响特性阻抗。在互连模型的背景下，所有这些影响都是紧密相关的，我们需要分析从1 MHz到100 GHz的测量相关性。这对于抛光导体窄带微波电路的分析可能不太重要。
演示粗糙度如何影响信号传播的最简单方法是使用半解析波导模型，例如如图17所示的平行板波导。它有两个导电板，两侧有完美磁导体(PMC)边界条件。这种波导的主导波为纯瞬变电磁波，在有损耗导体的情况下，由于有损耗导体表面的纵向电场作用，主导波为准瞬变电磁波(类似于PCB互连)。
图17。粗糙度对平行板波导衰减(左上图)和相位延迟(左下图)的影响。红线-无粗糙度，黑色和蓝色线-表面阻抗调整为HSRCC和MHRCC的导体，定义在右侧。
对于平坦的铜导体或没有粗糙度的铜导体，在成熟的趋皮效应带宽处，波导中的衰减与频率的平方根成比例增长，如图3所示的导体内部模型可以预测。衰减和每米相位延迟随频率的变化如图17左图上的红线所示。平行板波导中的电流分布是均匀的，没有边缘效应和邻近效应。为了研究导体表面粗糙度如何改变衰减和相位延迟，我们使用了两个粗糙度校正系数——HSRCC和MHRCC，其参数和频率依赖关系如图17右图所示。如图17所示，两种模型的衰减增量非常接近。我们可以观察到，粗糙导体的衰减在平方根(平坦导体)和线性频率依赖关系(典型的电介质)之间增长。但是，对相位延迟没有太大影响。这是因为导体内部的电感调整相对于总电感来说很小。Scott McMorrow提出并演示了如何利用这一事实来分离导体粗糙度和介电损耗[22]。
最后，将有效粗糙度介电(ERD)模型与带有粗糙度校正系数的模型进行比较。我们使用了图7-9中所研究的相同的带材线，在带材上下8mil的距离处有7mil宽1.2 mil厚的痕迹和两个1.2 mil厚的平面。条形和平面都是铜制的。该条带为低损耗均匀介质，在1 GHz时介电常数为3.76，损耗正切为0.006，模拟为宽带Debye或Djorjevic-Sarkar。ERD层的参数如图18所示，并通过[15]中标准或STD铜的测量进行了识别和验证。图18所示的介电常数(DK)和损耗正切(LT)参数应用于1ghz的ERD模型采用宽带Debye模型。
图18所示。Simbeor太赫兹软件中有效粗糙度电介质用于条带线分析。顶平面底部和带材顶部为“氧化”面，T1=2.27 um, DK=4.8, LT=0.05。底部平面的顶部和带材表面的底部为“箔”边，T2=13.5 um, DK=7.2, LT=0.13。
带有粗糙度修正系数的模型具有原始带材线的横截面。MHRCC用于“氧化物”的SR=0.25 um和RF=3，用于带材和平面的“箔”面SR=0.5 um和RF=6。
用Simbeor 3DTF求解器计算的无粗糙度和两种粗糙度模型下的传输线衰减和特性阻抗如图19所示。模态带线参数用于计算图20所示15.41英寸带线段的插入损耗和相位延迟。两种具有粗糙度的模型都预测衰减或插入损失会如预期的那样大幅增加。然而，RCC模型预测，由于粗糙表面上导体内部电感的增加，特性阻抗会略有增加。ERD预测由于较高的ERD层介电常数和与之相关的附加电容，特性阻抗会降低。先前在[12,13]中注意到STD铜的粗糙度的电容效应，并归因于铜箔表面的尖峰，如先前在b[23]中提出的那样。与ERD模型一样，当过渡层的介电常数较大时，电容可能会增加(增加的原因不同)。如果影响是真实的，而实际板显示较小的阻抗，则可以调整具有粗糙度校正系数的模型中导体的边界以考虑影响(叠加调整)。这种调整没有既定的方法。
如图20右图所示，MHRCC预测的内部导体电感和ERD模型预测的p.u.l电容的增加都会导致相位延迟的增加。同样，ERD预测由于更大的电容调整，可以在具有横截面几何校正的MHRCC模型中考虑到更大的增加。为了更好地理解粗糙度模型，还对电磁场、电流和功率流进行了计算和动画-看YouTube视频https://youtu.be/mx3_H0olIf8(ERD)和https://youtu.be/PsM2Wu0pkRo(MHRCC)。
图19所示。用ERD模型(蓝线)和MHRCC模型(红线)计算不含粗糙度(grin线)的条带线衰减(左图)和特征阻抗(右图)。
图20。用ERD模型(蓝线)和MHRCC模型(红线)计算不计粗糙度(grin线)的条带线段中15.41的插入损失(左图)和相位延迟(右图)。
铁磁导体
一般来说，所有材料，特别是导体，都具有一定的磁性或非单位磁导率。当外加磁场时，所有导体都表现出一定程度的磁极化。然而，只有铁磁性金属的磁导率可能大大大于单位，必须在电磁分析中考虑。钴、铁和镍是铁磁性导体的例子。只有镍常用于制造PCB和封装互连的表面涂层技术，如ENIG和ENEPIG。正如在[24]中所证明的那样，如果用ENIG工艺完成互连，镍的铁磁性能会导致严重的信号退化。这是由于镍的体积电阻率和非单位渗透率较大。从图3所示的趋肤深度公式可以看出，两者都可以减小趋肤深度，从而增加导体的压压电阻。这是在增加内部导体p.u.l电感之外。除了具有较高的电阻率和磁导率外，镍层在相对较低的频率(2 ~ 3ghz)可能表现出共振。Landau-Lifshits或Lorentz模型可以有效地模拟共振，如图21所示。右图显示了渗透率的实部和虚部，其参数为[Scott和I]中的ENIG过程确定。如图21所示，在2.7 GHz附近，随着插入损耗和群延迟色散的增加，测量中可以观察到谐振现象。所有这些都会大大降低这些频率上的频率谐波信号。
图21。用Landau-Lifshits模型模拟镍的铁磁性质。
图21。镀镍对封装互连的影响-测量和模拟插入损耗(左上)，群延迟(右上)和眼图(测量-左下，模拟-右下)的比较。
超越皮肤效应
导体体积导电性或电阻率理论是由保罗·德鲁德首先提出的。德鲁德在“弹球”机中使用经典的电子理论，推导出如图1和图22所示的欧姆低值。理论表明，在外加电场作用下，导体中电子的反应具有很小的延迟。在太赫兹频率范围内，延迟是微不足道的。恒定的体电阻率或电导率对应于我们通常用来模拟导体的无延迟导体模型。
图22。铜的电导率的实部和虚部(左图)以及色散模型(红线)和恒定电导率模型(蓝色虚线)预测的铜的实际蒙皮深度。
然而，随着频率的增加，必须考虑到延迟。导体中的时间弛豫过程是非谐振的，精度很高，可以用指数弛豫或德鲁德模型来描述，如图22在频域所示。该模型与介质极化的Debye模型非常相似，因为这两个模型都描述了导体和介质材料的指数弛豫响应。σ0式中为退火铜的体积电导率，为5.8*10^7 S/m。德鲁德理论后来被亨德里克·安东·洛伦兹(荷兰人)和阿诺德·索默菲尔德修正和扩展。经典模型被描述导体行为为类似于分子气体或等离子体的电子气体的理论所取代。金属中的电子表现为等离子体，可以形成电子密度波或等离子体。然而，电子密度波可以用原始的电导率弛豫模型准确地描述。通常使用具有复杂导体介电常数的等效模型来解释等离子体效应。电子等离子体弛豫模型的一个有趣的结果是饱和或趋肤效应的结束，如图22中铜的右图所示。金属对等离子体频率以上的电磁场几乎是透明的。从红外频率范围内的某一频率开始，在电导率不变或没有色散的情况下，趋肤深度不会像模型预测的那样随频率而减小。这意味着纳米级的互连在所有频率下都不会产生集肤效应——集肤深度将永远大于横截面，即使在光学频率下也是如此! Plasmonic behavior of conductors at high frequencies can be used to create new types of interconnect structures such as surface plasmon-polaritron waveduides that require just one wire to transmit the energy. This is a viable alternative to optical interconnects based on dielectric materials that does not scale down well due to some fundamental limitations such as bending losses and the diffraction limit. Though, this is usable only on IC scale and well beyond of the PCB and packaging interconnects subject.
结论
本文概述了导体对PCB和封装互连中信号传播的影响。在阅读这篇论文之后，你应该能够理解从直流到日光频率的导体中发生了什么。从宏观电磁学的角度来看，导体是非常简单的材料-用欧姆定律描述，在太赫兹频率范围内具有恒定的体电导率。这是一个只有1个参数的模型-电导率或电阻率，可以很容易地在直流下测量，并使用到太赫兹频率范围!然而，蒙皮深度变化的尺度和粗糙表面的复杂性可能会使图像复杂化，使问题难以进行数值分析。在大多数EDA工具中，都无法建立有效粗糙介电的导体粗糙度模型，也无法利用粗糙度修正系数对导体表面阻抗进行局部调整。简化的单参数粗糙度模型或使用静态现场求解器可能过于近似，并且在数据速率超过10 Gbps时大大增加了风险。导体模型必须在信号频谱的频率范围内进行测量验证。
最后，如果我们想要达到100gbps，以下是对互连分析软件的三大要求:
- 用带线的准静态场求解器和微带线的三维全波分析提取传输线的p.u.l和模态参数;
- 导体内部模型至少在5-6年的频率范围内有效且具有因果关系，以解释当前的拥挤、接近和边缘效应;
- 模拟导体表面粗糙度至少有两个参数模型，如修改Hammerstad或Huray的雪球模型;
参考文献
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附录1:麦克斯韦方程组
单位制下无物质或本构方程的麦克斯韦方程组的宏观形式
附录2:定义
电介质是从它们与电场、磁场或电磁场相互作用的角度来考虑的广泛的非金属。- A. R. von Hippel，“介电材料及其应用”。
导体是允许电流流动的材料。
导体也是由导电材料制成的互连元件。
材料是均匀如果属性不通过某些面积/体积改变。
材料是各向同性如果属性不随方向改变。
材料是各向异性如果属性随方向改变。
时间色散一种材料特性的瞬间延迟或滞后，通常被观察为材料特性的频率依赖性。
p.u.l。-传输线单位长度参数。
碾压混凝土-粗糙度校正系数。
HSRCC- Huray的雪球粗糙度修正系数。
MHRCC-修正汉默斯塔德粗糙度修正系数。
ERD-有效粗糙度介电。
