用大多数仪器进行测量很容易，但有时很难知道什么是真实的，什么是人工制品。吉布斯振铃是高速瞄准镜和TDR测量中常见的伪现象，除非您了解如何避免它，否则它会将您引入歧途。我们将揭开避开这一重要藏物的秘密。
吉布斯响
一个理想的方波具有谐波振幅的频谱，以1/频率下降。对于上升时间为0秒的理想方波，带宽是无限的，我们需要频谱中的每一个谐波分量来重现0秒上升时间。
当我们在时域合成一个方波时，通过在其频谱中添加连续的正弦波，我们看到随着每个谐波的添加，越来越接近方波。当我们增加谐波时，波形的上升时间变短，波形的带宽增加。波形的顶部和底部开始看起来越来越平坦。然而，在边缘有一个我们无法避免的铃声。一个截断系列的正弦波包括到7次谐波的例子显示在图1。
图1由理想方波的前7次谐波组成的波形。
这种振铃行为是在任何波形中观察到的截断系列正弦波频率成分的和的结果。1848年，Henry Wilbraham在用铅笔和纸计算从正弦波合成理想方波时首次记录了这种行为。1898年，J·威拉德·吉布斯(J Willard Gibbs)报告了截断傅里叶展开式中的振铃现象，与威尔伯拉罕的观测结果类似。由于历史原因，这种超调和振铃行为被归结为吉布斯，是截断傅里叶级数的基本性质。它有时被称为吉布斯效应、吉布斯现象、吉布斯耳鸣或吉布斯耳。
当一个理想方波的无穷级数正弦波被截断并转换回时域时，就会观察到吉布斯环。
滤波器阶跃响应中的吉布斯振铃
许多仪器，如高速示波器甚至网络分析仪，可以近似为具有极频和滤波器阶的高阶滤波器。在二阶或更高阶滤波器的阶跃响应中会出现吉布斯环。毕竟，在阶跃响应中，输入信号是由无穷级数的正弦波组成的方波。滤波器将截断无穷级数的正弦波。任何充分截断的正弦波序列都会显示吉布斯环。
一般来说，滤波器由它的传递函数H(f)定义。这个传递函数描述了输出的正弦波和输入的正弦波的复比。图2显示了一个2极或2阶最大平坦低通滤波器的模拟传递函数示例。所有三个重要的优点数据都显示在图2中。
图2。极频为1ghz，通带电平为0db的最大平坦二阶滤波器的传递函数。橙色的外推斜率的下降幅度击中了通带幅度在极频。
在低通滤波器中，传递函数在低频处为常数，大小为H0。这是通带区域。
滤波器的阶数是传递函数的形状和无功元件数量的度量，如电路描述中的L或C元件。它还描述了在通带区域以上，传递函数随频率的急剧下降。一阶滤波器将以频率增加-20 dB/ 10年或频率增加-6 dB/八度的速率下降。二阶滤波器将以-40 dB/decade的速率下降。n阶滤波器将以([-20 x n] dB/decade)的速率下降。高阶滤波器看起来越来越像砖墙滤波器。
滤波器的阶跃响应是输入信号为理想方波时的输出信号。从一阶到八阶不同阶滤波器的阶跃响应如图3所示。在这个例子中，极点频率都是1 GHz。
图3具有相同极频的一阶到八阶滤波器的阶跃响应。随着滤波器阶数的增加而增加的延迟是由于每个滤波器的组延迟较长。
一阶滤波器，RC电路的响应，不显示任何吉布斯环。它的输出呈指数衰减到100%。这表明-20 dB/decade的滚转不足以产生吉布斯环。然而，二阶滤波器的响应和更高，确实显示吉布振铃。阶数越高，振铃幅度越明显。毕竟，阶数越高，过滤器就越接近一堵砖墙。
每个滤波器的10-90上升时间是固有的上升时间响应。尽管在本例中每个滤波器都有相同的1 GHz极频，但固有上升时间是不相同的。10 ~ 90上升时间与极频成反比关系。任何滤波器的一个重要优点是其固有的10-90上升时间与极频RTBW的乘积。这个产品只取决于过滤器的顺序。图4a显示了数值模拟到26阶滤波器的这种关系。
图4a数值实验显示了不同理想滤波器阶跃响应的10-90上升时间-带宽乘积。每个滤波器的极点频率是相同的。10-90和20-80上升次数的上升时间-带宽乘积不同，但趋势相似。
当仪器表现为高阶滤波器时，其阶跃响应将根据其极频和滤波器阶数以及吉布斯环显示有限上升时间。
吉布斯振铃和仪器测量
所有现代的高带宽示波器前端都使用了大量的DSP滤波。DSP算法中的滤波器顺序通常是4阶，但会根据作用域设置而变化，通常情况下是对用户隐藏的方式。这意味着他们的上升时间-带宽乘积在0.39到0.45的数量级上，取决于设置，当被带宽与其极频相当的信号激发时，他们将显示吉布斯环。
例如，从Leo Bodnar Electronics以60美元的价格购买的低成本脉冲发生器中获得的50 pss上升时间信号被用作源。该源的带宽约为0.35/0.05 nsec = 7 GHz。它是用8 GHz和4 GHz带宽范围测量的。示波器的固有上升时间分别约为0.39/8 GHz = 49 psec和0.39/4 GHz = 98 psec。这些测量结果被带入Keysight的ADS，并与极频为8 GHz和4 GHz的理想四阶最大平面滤波器的响应进行了比较，使用理想的50 psec 10-90上升时间，误差函数，阶跃边缘刺激。除了时间偏移来对齐边缘之外，没有其他合适的方法。图4b显示了这些测量值和模拟的理想滤波器响应。
图4b红圈:由两种不同的Teledyne Lecroy示波器测量的50 psec 10-90上升时间信号，带宽分别为4 GHz和8 GHz。蓝色轨迹是50 psec信号通过极频为4 GHz和8 GHz的四阶滤波器的模拟响应。
这种超调和振铃很容易被误解为信号的真实特征，例如反射特征，而实际上，它是前端内部四阶滤波器加上DSP和输入信号的高带宽的响应的伪产物。DSP滤波器人为截断输入的正弦波序列，导致吉布斯振铃。
这与将宽带s参数测量转换为时域时发生的效果相同。s参数实际上是截断的正弦波序列，在s参数中测量的最高频率处截断。当这个限带系列的正弦波转换到时域时，吉布斯环是明显的。
将频域限带s参数转换为时域的典型算法是通过将s参数表示的各个正弦波分量相加来计算特定s参数的脉冲响应。截断的无穷级数在脉冲响应中产生吉布斯环。然后将脉冲响应与合成的输入阶跃信号进行卷积，得到互连点在时域内对阶跃边的响应。
脉冲响应与输入波形在时域的卷积等价于输入信号的频率分量与频域s参数的乘积。当输入上升时间足够短，其带宽与s参数中最高频率相当时，信号的正弦波序列将被限带s参数截断，在时域出现吉布斯振铃。
作为一个例子，图5显示了通过非常低损耗互连传输信号的时域响应，从频域测量计算，测量的频率分量高达40 GHz。阶梯边缘上升时间为9 psec，带宽为39 GHz。这使得s参数成为一个截断的序列。吉布斯环是明显的。
图5在重建的时域响应中，由于上升时间过短，40ghz频段受限s参数短通互连的TDR和TDT测量结果。吉布斯效应使反应的解释变得困难。
当在TDR测量中使用太短的上升时间时，由频域s参数创建的互连，吉布斯振铃伪象可以使均匀互连看起来像具有不连续的互连。这是真的还是藏物?如何减少或消除这种神器?
减少吉布斯环
一阶滤波器没有显示吉布斯环的原因是正弦波振幅的-20 dB/decade下降是一个逐渐截断。滤波器的阶数越高，吉布斯环的幅值越高，因为截断更接近于砖墙。
这表明，如果无穷级数的正弦波可以在和所使用的频率范围内逐渐截断，而不是像砖墙一样截断，就可以减少吉布斯环。这意味着使用带宽开销来逐渐减少正弦波频率分量的截断。
这一原理如图6所示，其中上升时间步长边信号随着带宽的减少而增加，被用作四阶和八阶滤波器的输入。输入上升时间，归一化到滤波器的固有上升时间，被用作输入上升时间的度量。当输入上升时间为滤波器固有上升时间的2倍时，与输入上升时间仅为滤波器固有上升时间的2%时相比，滤波器输出中几乎没有吉布斯环。
图6四阶和八阶滤波器在三种不同的输入上升时间下，与本然系统上升时间0.02x, 1x和2x的输出吉布斯环示例。超调值取决于滤波器的阶数和输入上升时间相对于滤波器的固有响应。
与滤波器的固有上升时间相比，刺激的上升时间越长，输出中吉布斯环的影响就越小。使用一个简单的数值实验，我们可以回答输入上升时间应该比固有上升时间长多少的问题，以消除吉布斯环伪象。
图7显示了基于数值模拟的输入上升时间增加时滤波器响应中的吉布斯环超调量。消除吉布斯环的归一化上升时间与滤波器的阶数略有关系。对于四阶滤波器，上升时间应该至少是滤波器固有上升时间的2.5倍。
图7不同极点滤波器和归一化输入上升时间下的超调量。
我们可以使用这种关系来探索仪器给定带宽下的最短建议信号上升时间与不引入吉布斯振铃伪影之间的约束。
对于四阶滤波器，条件为:
这是一个强大而简单的经验法则。它说，为了避免吉布斯振铃的伪影，使用仪器带宽高于1/RT的信号。这是相当大的带宽开销。
例如，如果我们有一个上升时间为1 nsec的信号，则该信号的带宽为0.35/1 nsec = 350 MHz。为避免在示波器测量中出现吉布斯振铃，示波器的带宽至少应为1/1 nsec = 1 GHz。这是信号带宽的3倍。这是一种更可靠的经验法则，而不是使用范围带宽至少为信号带宽的2倍的常见建议。这个常见的建议只是基于测量输入上升时间到实际上升时间的10%。它不考虑吉布斯环的影响。
将限带s参数从频域平移到时域时，为了避免吉布斯振铃伪象，模拟的最短上升时间应至少为s参数的1/BW。
通常的建议是，从限带s参数中可以看到的最短上升时间为0.35/BW。这将在时域中再现最短的上升时间信号，但它将显示吉布斯环，并使时域响应难以解释。将上升时间降低到1/BW将消除这种伪影，任何残留的振铃可能都是真实的。
为了说明这一点，使用Teledyne LeCroy WavePulser 40iX测量了一条损耗非常低的50欧姆传输线，传输频率高达20 GHz。通过该互连传输的信号，在时域内计算上升时间为17秒、35秒和50秒。变换后的时域传输信号随这三次上升时间如图8所示。
图8相同20ghz限带s参数不同上升时间的时域信号模拟图
当时域响应的上升时间为0.35/BW时，Gibbs环明显。当上升时间为1/BW时，该伪影被完全消除。
总结
吉布振铃是理想方波谱中无穷级数的正弦波分量被截断或限带时产生的一种伪象。在任何电压转变时，它都将出现振铃现象。在范围测量中，它看起来像一个反射噪声源。在转换到时域的s参数测量中，它看起来像来自不连续的反射。事实上，它是测量过程的产物。
消除这种假象的一种方法是牺牲测量的带宽来换取信号质量。作为一个可靠的经验法则，为了避免吉布斯环伪影，请确保测量的带宽至少高达信号的1/RT。如果变换带限s参数，模拟域响应时的上升时间应大于s参数的1/BW。
如果您超出了这个经验法则所建议的限制，那么您绝对会引入吉布斯环伪象。在解释测量结果时要小心。这种铃声可能与反射源无关。
进一步阅读:
- Banas,大卫。插入损耗的脉冲响应，信号完整性杂志，2020年8月。
- Bogatin,埃里克。回到基础:带宽和上升时间，信号完整性杂志，2018年5月。
- Bogatin Eric, Lawrence Jacobs和Matt Diessner．快速，简单的方法来测量一个范围探测系统的系统带宽，信号完整性杂志，2019年1月
