PCB设计者总是非常注意介质和金属损耗，这是定义数字信号传输的大多数物理极限的因素。近年来，损失模型不断完善。一个目标是提高模型的精度，更好地匹配物理实验和测量。另一个目标是为仿真工具提供宽频带、数学上一致的方程，方便且适用于时域和频域分析。
我记得当一个介电模型被定义为两个数字，相对介电常数和损耗正切，与任何特定的频率无关，模拟器提供一个恒定的电容，伴随着电导线性随频率增长。对这些方程进行傅里叶反变换就足以发现这个模型是非因果的:相当一部分脉冲响应发生在负时间。现在我们很幸运地有了一个宽带因果Djordjevic-Sarkar介电模型，以及它的一些修改。它不仅在数学上是合理的，而且与物理观测结果也很吻合。
至于金属模型，问题在一开始似乎并没有那么严重。由于频率没有超过千兆赫，蒙皮效应公式足以很好地描述金属损耗。它也是因果关系，是复频率的平方根。这个公式的拉普拉斯逆变换得到的时间响应在负时刻等于零。
然而，随着速度的进一步提高，结果是金属表面的粗糙和皮肤深度的减少使损失更高。是的，主要关注的是损失，因此，第一个可用的粗糙度模型，如Hammerstad, semipherical, Huray旨在预测由于金属粗糙度造成的损失增加。所有这些模型最初都被认为是频率相关的皮肤电阻乘数。然而，一个普遍的做法是应用这些(纯实数)乘法器到复杂的金属阻抗，从而以相同的比例增加实部和虚部。我们中的许多人都没有看到其中的障碍:如果皮肤阻力是因果关系，为什么在高频下增加皮肤阻力会成为一个问题?然而，有一个问题:一个纯实数但频率相关的乘数不是一个因果函数，因为它与因果皮肤阻抗成为乘积。
第一个提供因果计算模型的出版物是2012年Eric Bracken的DesignCon论文，其中作者提出了一个因果Huray粗糙度模型。这一次，它是一个复杂的因果频率依赖乘法器，提供了与非因果乘法器相同的电阻损耗，但对复电感的贡献不同。然而，本文并没有说明因果模型的推导过程。
在2017设计展上，我参加了Bert Simonovich的演讲，基于导体表面粗糙度的有效介电常数和相位延迟的实用建模方法在那里，他演示了使用他的炮弹粗糙度模型(Huray粗糙度模型的一个特例，其中14个大小相等的球体以一个立方体的紧密排列堆放)。
伯特模型中的损耗与实测的带状线s参数的损耗完全吻合，但相位延迟存在微小的差异。演示结束后，我们就这种差异的原因进行了对话:原因可能是一个非因果粗糙度模型吗?这是我们(与物理学家和数学家伊戈尔·科奇科夫一起)研究这篇论文的开始。”因果导体粗糙度模型及其对传输线特性的影响，在2018年设计展上展出。
在这个纸，我们描述了因果Cannonball-Huray和Hammerstad粗糙度模型的推导。我们还证明了金属粗糙度使复阻抗的电感部分增加的值大于其电阻部分。因此，在非因果粗糙度模型下，我们低估了PUL电感、传播延迟和导体的特性阻抗。
还有什么没有解决?首先，封闭形式的kkramers - kronig积分变换只能存在于一类很小的粗糙度方程中。即使存在，求积分也需要相当大的努力。一类广泛的分析模型(包括Groiss, hemisphere, Bushminsky)和直接从测量中发现的损失修正依赖不属于这一类。总的来说，大多数实际的重要情况不能用分析的方法处理，我们需要一个更普遍的解决办法。
在本文中，我们通过拟合恢复复电感的未知实部。不幸的是，有理函数不能作为一个合适的基，因为金属阻抗是用复频率的分数次幂来描述的，就像我们对光滑金属由于蒙皮阻抗所做的那样。为此，我们提出了另一个由包含复频率分数次幂的因果函数组成的基。这个基础工作得非常好:有可能找到Groiss，半球和布希明斯基模型的粗糙度因素的因果版本。通过对复电感已知部分的拟合程度，以及对给定“损耗校正因子”的拟合程度，可以验证模型的准确性。我们比较了描述因果Hammerstad、Cannonball-Huray和上述三个模型的复杂依赖关系，并分析了它们的重要属性，其中一些甚至在损失校正依赖关系中是不可见的。最重要的是，我们现在可以处理任意数据，例如通过测量发现的表格损失校正定义的数据。
本文在2020设计展上展出。
