数据速率的提高和利润率的降低挑战了高速链路设计，以超越分段建模和联合仿真技术的限制。物理传输层包括许多无源和有源组件。它们各自的相互依赖和权衡并不总是容易识别。虽然通道可能通过测试，但剩余裕度及其对几何形状或生产中材料变化的弹性可能无法观察到。然而，这种变化是至关重要的，因为它们可能会阻碍性能或导致大批量生产(HVM)产品失败。

我们首次开发并演示了多项式混沌展开(PCE)流，以分析从几何规格到接收端信道操作裕度(COM)裕度的全功能100GBASE-KR4链路。

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每车道224 Gb/s:选择和挑战

该框架是非侵入式构建的(见图1)。它构建在传统工具之上，无需修改，并将自身集成到已建立方法的设计流程中。PCE方法受到积极的研究，并已成功应用于研究高速链路设计的各个方面[1,2,3]。然而，据笔者所知，该方法还没有应用于实际的设置环节设计中。例如，最近使用PCE和DoE/响应面方法(RSM)研究了两个差分通孔对之间的串扰变异性。[4]给出了这两种方法的比较。虽然其中承认这些方法之间的一般相似性，但没有讨论确定最具影响的参数。

图1:受工艺、电压、温度(PVT)和大批量制造(HVM)变化影响的高速数字链路统计分析框架的背景和概述。规范的预处理扩展了分析，并允许对结果(橙色箭头所示的数据流)进行高级解释。多项式混沌展开(PCE)流与现有的DoE和MCS方法相似。现有的链路分析解决方案可以集成，并在参数化通道测试台的标签下进行总结。

PCE方法原则上是一种基于方差的敏感性分析，允许直接识别给定设计或工艺变化集中最具影响力的参数。我们统计分析了链接COM边缘，并评估其敏感性和可变性与几何和材料的变化。我们的流程建立在实现PCE的经过验证的开源库ChaosPy[5]上，进一步，我们通过ST[6]扩展ChaosPy，通过先验选择样本来提高计算效率。我们包括相关的Python代码片段，并为任何想要实现提议的PCE流程的人提供指导。此外，我们将所提出的流程与传统的MCS和基于DoE的方法进行了比较和验证。

最后，该框架没有对要分析的数据施加任何约束。它允许对参考模型和遵从度量(如COM[7,8])进行彻底的评估和教育调查。它们在多大程度上捕获了链路退化的基本原因和影响，这有待讨论[9,10]。随着数据速率的不断提高，设计裕度不断降低，对信道性能的全面理解和预测至关重要。这项工作通过对典型设计参数(如拓扑结构、I/O电路和串扰噪声)的影响进行敏感性评估来解决这一需求。

参数可变性环节评价与评估的现状

所有高速链路本质上都由发射机(Tx)、信道(Ch)和接收机(RX)组成。高速链路成功通信的能力由误码率(BER)来定义。用正确的Tx、Ch和RX模型验证误码率并不简单，而且耗时。因此，引入遵从性度量作为一种间接的方法来估计误码率，而不太复杂。大多数情况下，Tx、Ch和RX的合规性指标是分开指定的，这样整个链路(连接时)就能达到所需的误码率。过去，在指定物理位置上的眼高和眼宽(或眼罩)是符合性验证的绝对度量。

仅对于互连，可根据频域度量来指定遵从性。其中，关键指标包括插入损耗(IL)、IL偏差(ILD)和插入损耗与串扰比(ICR)。大多数标准将这些遵从性度量指定为信息性指导值，而不是严格执行的数字。最近，IEEE 802.3bj[11，附录93A。1] introduced COM as a single compliance metric for the channel validation. It is measured in dB and is defined as

在哪里表示均衡后的信号振幅，和总结噪音成因，例如发射机噪音(TX)，剩余符号间干扰(三军情报局)，定时抖动(J)、相声(XT)，及接收机均衡器噪音(N)．它也被其他标准化委员会所接受，如OIF-CEI、Fibre Channel和JEDEC。COM计算算法在数学上是统计分析的一个子集，使用受害者和攻击者通道s参数的单比特脉冲响应。开云体育官网登录平台网址与完整的统计模拟器相比

COM是建立在简化算法和提高性能所需的几个假设之上的。例如，该算法将固定前馈均衡器(FFE)架构限制为两个或三个可变tap系数，将连续时间线性均衡器(CTLE)实现限制为两个或三个极点和一个或两个零。

受这些简化影响的部分是输入抖动和串扰贡献的计算[9]。此外，COM只考虑两种包的变化，短和长传输线模型。我们在接下来的研究中考虑这两种情况，并对它们进行标记COM短而且COM长,分别。

随着数据速率的提高，高速链路的裕度显著降低。因此，在一个设计点验证通道或链路的合规性在大批量生产(HVM)情况下具有固有的风险。评估HVM质量的一个关键指标是超过100万台的故障数量。这可以等效地表示为在采样的100万个链路中不符合规定的链路数。让我们将这个HVM质量度量定义为FPM -每百万次失败。为了评估FPM，由于制造公差引起的部件参数变化应包括在连杆仿真中。如果该环节没有达到某个FPM目标，那么对影响合规性指标的最具影响力的变量进行排名并控制其制造公差是很重要的。后面将给出如何推导这个量的例子。

高速链路设计中的有效不确定性量化

参数变化通常通过三个值来捕获:最小值、标称值和最大值。对于有N个变量的链接，所需的模拟总数为3^N．因此，如果我们要模拟所有可能的组合，模拟的次数会随着参数的数量呈指数增长。减少计算负担的一种谨慎的方法是使用统计方法。Monte-Carlo Sampling (MCS)和Design of Experiments (DoE)结合RSM是工业上常用的两种方法[12,13]。

MCS是量化变化及其对数字链路性能影响的经典方法。它没有对感兴趣的数量施加任何约束或假设，并从所有可能的参数组合中随机选择样本。然而，MCS通常需要大量的样本来确保收敛，这可能使这种技术的计算非常昂贵。响应面法(RSM)使用设计好的实验来减少样本数量，在分析参数变异性方面更有效。基于多项式回归，参数模型旨在捕获感兴趣的数量及其与输入参数的相关性，这些输入参数可能会发生变化。传统MCS通过多项式拟合得到统计量，计算成本较低。

注意，生产或设计中的不确定性分布通常是已知的。例如，高斯和均匀分布变量涵盖了HVM变化和设计空间探索的常见情况。在本文中，我们提出了一个基于PCE的仿真流程，该流程明确地使用这些信息来提高分析的效率。它本质上非常适合于HVM质量评估和控制。值得注意的是，在各种用例中，它比传统的MCS和RSM方法计算效率更高。

多项式混沌展开综述

与RSM类似，PCE旨在通过多项式模型来获取参数可变性，从中得出感兴趣的统计量。此外，这两种方法都利用特定的抽样方案来构建模型。然而，一个显著的区别在于PCE是一种光谱方法。类似于涉及时间和频域的傅里叶变换，PCE将手头的确定性问题转换为随机域[14]。

在链接设计中，典型的兴趣量包括性能指标，如COM和眼界。输出量随几何形状和材料值等输入参数的随机变化而变化。下面，考虑一个随机变量这是任意函数的输出并且依赖于输入随机变量．(在下面的文本中，函数输出变量可以互换使用。在给定的上下文中，它应该是清楚的，在任何一种情况下都是指哪一个。)PCE将该输出变量展开为截断序列[15，第5.1章]

在哪里P是近似的阶数，表示归一化基多项式服从于,为各PCE系数。一个给定近似度的充分性P取决于函数的平滑度．一般来说，对于非共振或弱共振问题，级数收敛得更快，对应于一个较低的P．增加P为了更好的准确性有影响和限制，随后讨论。基多项式与内积正交[15，第5.1章]

在哪里是常态，是克罗内克delta，和是各自的概率密度函数。给定一个分布，确定多项式基的选择。对于最常见的情况，它们要么是高斯分布的埃尔米特多项式，即均匀分布时的勒让德多项式．这一发现是基本的:相同分布的不同随机变量仅在表征多项式模型的各自PCE系数上有所不同。因此，PCE系数携带了所有相关的随机信息。

当涉及多个变量时，采用式(2)得到[15，第2章~5.2]

与作为向量N随机独立的输入随机变量。再一次,表示基多项式，PCE系数为．注意，基多项式比前面讨论的单变量情况更一般。多元或联合基多项式是由单个单变量函数基的乘法得到的。最终得到的多项式模型中的系数数等于(D+ 1)并确定所需的顺序D．所需的顺序由．

根据上述PCE公式可以推导出各种指标。的平均值等于第0个PCE系数，即[15，章节~5.3]

方差由[15，第5.3章]给出

多元规范定义类似于(3)是预先计算出来的，还是通过查找表获得的。除了这些已确定的量之外，还可以推导出条件方差(Sobol指数)来分析一个或多个参数的输入可变性对整体输出可变性的相对影响。这个结果在PCE中没有额外的成本，因为它可以直接从PCE系数中读取。对应的Sobol指数输入随机变量是[16,17]

其中索引k在分子上对应于有关的贡献．请注意，这个主要量是PCE所特有的。从传统的DoE/RSM模型推导出它需要付出巨大的努力，并且精度将受到RSM模型的限制。由于其配方，PCE不受这些限制。此外，相对于输入的灵敏度可以通过样本处的偏导数得到类似于[18]中提出的过程

最后但并非最不重要的是PDFp(y)可以用PCE模型的MCS得到，方法与DoE/RSM相同。这是廉价的，因为它只涉及到一个多项式函数的计算。

在此基础上，随后讨论了两个基本方面:获得PCE系数和使用尽可能少的样本。通过实例说明了该过程。

多项式混沌展开系数的获得

获得PCE系数的一种方法是在正交基上进行光谱投影:

在这里,是联合概率密度函数。多变量情况下的多维积分可根据式(4)采用高斯求积法进行数值求解

(P+ 1)^N为单变量情况下通过正交节点的完整张量积得到的正交节点的总数，并且是对应的k求积权。由式11可以看出，高斯正交节点的个数也就是函数调用的总次数以指数方式增长N．如果一个单一的函数评估，例如测量或模拟，计算成本很高，这是特别有害的。或者，点匹配等于在单个采样点上评估的函数到在同一节点上评估的PCE模型:

所有采样点的匹配可以写成矩阵形式

这是一个过度确定的问题(D + 1)和线性回归可用于求解中的系数．下一节将介绍st。该方法选择(D+ 1)大多数相关样本的先验，以进一步减少昂贵的功能评估的需要。

用随机测试提高计算效率

ST方法[6]使用上述策略来获得多项式混沌系数。它选择(D+ 1)样品，产生最大可能精度的PCE基础秩序的建设P．也就是说，它随机选择最重要的节点。

首先，一套(P+ 1)^N候选节点以及它们的相关权重使用(11)到(13)所述的高斯正交规则来建立。下一步，权重按值排序。从权值最大的节点开始，依次插入基函数的向量中，

如果任何下一个候选节点产生一个新向量它与之前接受的完全正交，因此，增加了矩阵的维数，这是被接受的。否则候选节点将被丢弃。如果候选节点集中有D+ 1个合适节点我们可以再写一遍

这个矩阵有完整的等级，最好是良好的条件。有了这个，就可以写作了

得到PCE系数。清单2显式地实现了这个算法，以演示开源库的扩展ChaosPy供在建议的框架中使用。候选节点的正交性由一个参数控制这个值应该尽可能大，以确保矩阵是规则的．另一方面，较大的值可能会阻碍算法的收敛。

为了将PCE得到的多项式模型与常规DoE/RSM方法的结果进行比较，近似阶数选择为P= 2。这对应于二次RSM模型的经典选择。如果N= 2个独立的均匀分布变量而且，高斯积分为(2 + 1)²= 9个节点，如表1所示。

然而，这个问题被过度确定了。的级别等于多项式模型中的系数数。在本例中，它由_．因此，需要消除其中三个节点。在几分之一秒的时间内，ST算法根据表1中所示的行的高斯积分权值以及它们与已经选择的节点的正交性来选择行。请注意对于所有样本。这揭示了多项式基是规范化的吗．

图2说明了如何对二维域进行采样以及已接受哪些节点。图3说明了ST如何减少所需样本的数量作为变量的数量N以及近似的阶数P有所不同。

变量分析与归一化的计算代价

两个因素可能主导所提出的参数可变性分析的计算成本:样本链路的确定性分析和PCE和st引入的开销。该框架是非侵入性的，不会改变或加快链路本身的分析。然而，它的目的是降低随机分析中所需样本的总数。

基于带ST的PCE随机模型的计算主要是ST节点的选择和确定性样本的投影PCE系数(16)。注意，节点的计算和选择可以与实际样本解耦。

将分布映射到规范化区间，例如:，在不失通用性的前提下，有两大好处:第一，矩阵一个与问题无关。它可以预先计算并制成表格。

表1:高斯积分(GQ)节点及其对应的权值和行．最后一列的标志表示该节点是否被ST选中。

建议的建模框架

所提出的建模框架将确定性分析方法(如s参数提取、统计时域模拟和COM分析)集成到非侵入式PCE框架中，如图4所示。这允许集成到任何现有的工作流中。

框架的两个主要部分将在接下来的小节中进行更详细的讨论。首先，开源库ChaosPy，实现了PCE，并在前面介绍的抽样技术的基础上进行了扩展随机检验(ST)．第二部分是一个抽象的、灵敏度敏感的链路模型。该模型作为确定性模拟和PCE之间的接口。第4节将使用通用的100GBASE-KR4链接演示框架，而不损失通用性。

随机测试的实现

考虑到高度模块化的Python库ChaosPy，可以很容易地编写包装器函数，以便将PCE与ST结合使用压缩为四个不同的函数调用，如下面的清单1所示。

清单1:根据清单2使用带有ST扩展名的ChaosPy库获取PCE系数。

行1获取最后的ST节点．为此，函数需要两个输入，即近似的阶数P和一个输入随机变量的向量．该函数是一个包装器函数，调用[6]中首次制定的核心ST算法。清单2给出了Python脚本语言中的相应实现。

图4:高速数字链路灵敏度感知分析的非侵入式框架包括确定性域和随机(PCE)域。前者可以用对给定链路规范的任何常规分析来表示。利用PCE对样本进行预处理和后处理，得到随机量。蓝色卷轴突出显示了域之间的信息交换。本研究使用字符间隔值的基本表来实现交换。眼图可以直接从提取的s参数和COM等效[9]中得到。

如果使用标准化变量，则此函数调用独立于实际问题，并且可以预先计算和制表。获取ST节点然后变成加载一个秩矩阵(D+ 1)从一个文件。第二行表示调用确定性求解器的包装器函数。本质上，这意味着导入一个结果向量，记为(16)。最后，第3行和第4行推导出PCE系数和多项式模型。行3对应于式(16)。求解线性方程组可以实现为lu分解，也可以预先计算。

灵敏度感知链路模型

前面描述的PCE算法是非侵入式构造的，只需要知道一个输入值表及其相应的输出。该表作为随机域和确定性域之间的接口，如图4所示。它将拓扑、几何和操作规范映射到COM等输出量。

在填写表格时，可以根据精度需求和可用性选择常规的测量、仿真工具和建模方法。它们不需要任何修改。为了证明框架的多功能性，本研究使用了作者可用的多种工具。

采用分段2.5D建模方法提取互连的s参数[19,20]。COM值和眼图是使用商业工具以及公开可用的参考实现计算和验证的。

清单2:基于ChaosPy库的PCE的ST根据[6]的Python实现。

高速互连的灵敏度分析

输入的不确定性可能是由于可用的设计选择以及生产中意想不到的参数变化。这两个方面都是有趣的，尽管在制造过程的不同阶段。此外，哪些参数影响最大可能并不总是显而易见的。

在本节中，我们将通过设计空间探索来演示所提议的框架的功能。也就是说，选择的不确定性(pdf)具有均匀分布。

另一个流行的选择是对应于PVT和HVM不确定性的正态分布。通过与RSM和MCS的比较，验证了该框架的有效性和准确性。为了便于方法之间的比较，从PCE和RSM中得到了二阶多项式。

图5a和5b说明了整体连杆模型以及所考虑的自由度。表2总结了N= 9个自变量，包括各参数的标称值和变化范围。总布线长度约为21英寸。堆叠和引脚分配如图6所示。

注意，介电材料的性质以及微分阻抗是随机独立的变量，在两个板。刀片1使用标称材料属性和路由阻抗。连接器具有相同的模型。

图5:在高速数据链的可变性和敏感性分析中，需要平衡多个视点，如图所示。(a)典型背板链路的拓扑结构。(b)研究参数敏感性时所考虑的值和自由度。(c)所考虑的方法和抽样方案的不同阶段所需的样本数量。随机测试(ST)和盒-本肯(BB)。每个部分分析都需要全部数量的蒙特卡罗样本。根据所需的精度和感兴趣的数量，这个数字可能会有很大的变化。

表2:参数及其各自的范围考虑在示例设计空间探索。标称值表示各自参数范围的中心值。